习题课三角恒等变换的应用PPT

《习题课 三角恒等变换的应用》三角函数PPT

第一部分内容：课标阐释

1.能够运用三角函数公式对函数解析式进行化简,以研究函数的性质.

2.能够运用三角函数公式解决求值与化简问题.

3.掌握三角恒等变换在实际问题中的应用.

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习题课三角恒等变换的应用PPT，第二部分内容：自主预习

一、降幂和升幂公式

(1)降幂公式:sin2α=(1'-' cos2α)/2,cos2α=(1+cos2α)/2,sin αcos α=1/2sin 2α. 

(2)升幂公式:1+cos α=2cos2α/2,1-cos α=2sin2α/2.

2.做一做

(1)函数y=sin(2x+π/3)cos(2x+π/3)的最小正周期为(　　)

A.2πB.πC.π/2D.π/4

(2)函数f(x)=cos2(x+π/4),x∈R,则f(x)(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数,也是偶函数

D.既不是奇函数,也不是偶函数

解析:(1)因为y=sin(2x+π/3)cos(2x+π/3)

=1/2sin(4x+2π/3),所以最小正周期为2π/4=π/2.

(2)∵f(x)=(1+cos(2x+π/2))/2=1/2-1/2sin 2x,x∈R,

∴f(-x)=1/2-1/2sin 2(-x)=1/2+1/2sin 2x.

∴f('-'  π/4)=1/2+1/2sin π/2=1,

f(π/4)=1/2-1/2sin π/2=0,

∴f('-'  π/4)≠f(π/4),f('-'  π/4)≠-f(π/4).

∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

答案:(1)C　(2)D 

二、辅助角公式

asin x+bcos x=√(a^2+b^2 )sin(x+φ)

('其中' sinφ=b/√(a^2+b^2 ) ',' cosφ=a/√(a^2+b^2 ) ',' tanφ=b/a).

2.做一做

(1)若函数f(x)=sin x+3cos x,x∈R,则f(x)的值域是(　　)

A.[1,3]B.[1,2]

C.[-√10,√10]D.[0,√10]

(2)函数f(x)=sin x-√3cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是(　　)

A.['-' π',-'  5π/6]B.['-'  5π/6 ',-'  π/6]      C.['-'  π/3 ',' 0]D.['-'  π/6 ',' 0]

解析:(1)因为f(x)=sin x+3cos x=√10sin(x+φ)(其中tan φ=3),所以函数f(x)=sin x+3cos x,x∈R,则f(x)的值域是[-√10,√10].

(2)f(x)=2(1/2 sinx'-'  √3/2 cosx)=2sin(x'-'  π/3),令2kπ-π/2≤x-π/3≤2kπ+π/2,k∈Z,得2kπ-π/6≤x≤2kπ+5π/6,k∈Z.

又x∈[-π,0],

∴x∈['-'  π/6 ',' 0].

答案:(1)C　(2)D 

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习题课三角恒等变换的应用PPT，第三部分内容：规范解答

三角恒等变换与三角函数性质的综合应用

典例 已知函数f(x)=sin(π/2 '-' x)sin x-√3cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值;

(2)讨论f(x)在[π/6 ','  2π/3]上的单调性.

【审题策略】 先利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后确定其性质.

【规范展示】 解:(1)f(x)=sin(π/2 '-' x)sin x-√3cos2x=cos xsin x-√3/2(1+cos 2x)

=1/2sin 2x-√3/2cos 2x-√3/2=sin(2x'-'  π/3)-√3/2,

因此f(x)的最小正周期为π,最大值为(2'-' √3)/2.

(2)当x∈[π/6 ','  2π/3]时,0≤2x-π/3≤π,从而当0≤2x-π/3≤π/2,即π/6≤x≤5π/12时,f(x)单调递增;当π/2<2x-π/3≤π,即5π/12

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习题课三角恒等变换的应用PPT，第四部分内容：随堂演练

1.(多选题)已知函数f(x)=sin(x+π/6)cos(x+π/6),则下列判断不正确的是(　　)

A.f(x)的最小正周期为π/2

B.f(x'-'  π/6)是奇函数

C.f(x)的一个对称中心为(π/6 ',' 0)

D.f(x)的一条对称轴为x=π/6

解析:因为f(x)=sin(x+π/6)cos(x+π/6)=1/2sin(2x+π/3),所以f(x'-'  π/6)=1/2sin 2x,所以f(x'-'  π/6)是奇函数.

答案:ACD 

2.函数y=cos(x+π/2)+sin(π/3 '-' x)具有性质(　　)

A.最大值为1,图象关于点(π/6 ',' 0)对称

B.最大值为√3,图象关于点(π/6 ',' 0)对称

C.最大值为1,图象关于直线x=π/6对称

D.最大值为√3,图象关于直线x=π/6对称

解析:∵y=-sin x+√3/2cos x-1/2sin x

=-√3 (√3/2 sinx'-'  1/2 cosx)=-√3sin(x'-'  π/6),

∴最大值为√3,图象关于点(π/6 ',' 0)对称.

答案:B 

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