等式与不等式PPT

《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第2课时均值不等式的应用)

第一部分内容：学 习 目 标

1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点) 

2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)

核 心 素 养

1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．

2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.

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均值不等式及其应用PPT，第二部分内容：自主预习探新知

已知x，y都是正数．

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最   值S24.

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最   值2p.

上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．

1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是(　　)

A.72　　B．4　　C.92　　D．5

2．若x>0，则x＋2x的最小值是________．

3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．

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均值不等式及其应用PPT，第三部分内容：合作探究提素养

利用均值不等式求最值

【例1】(1)已知x<54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；

(2)已知0

[思路点拨]　(1)看到求y＝4x－2＋14x－5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．

利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决.

利用均值不等式求条件最值

【例2】已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．

1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．

2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有y＝ax＋bx型和y＝ax(b－ax)型．

利用均值不等式解决实际问题

【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

[解]设每间虎笼长x m，宽y m，

则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.

设每间虎笼面积为S，则S＝xy.

在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：

(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；

(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案．

1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．

2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.

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均值不等式及其应用PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．思考辨析

(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．(　　)

(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.(　　)

(3)当x>1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.(　　)

2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)

A．1　　B．22　　C．2　　D．4

3．已知0

A.12  B.34

C.23  D.25

4．已知x>0，求y＝2xx2＋1的最大值．

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《章末复习课》等式与不等式PPT 题型探究 一元二次方程根与系数的关系 【例1】 如果关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＜2且k1 B..

《章末复习提升课》等式与不等式PPT 第一部分内容：综合提高 不等式性质的应用 (1)下列命题正确的有( ) ①若a1，则1a1；②若a＋cb，则1a1b；③对任意实数a，都有a2a；④若ac2bc2，则a..

《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第1课时均值不等式) 第一部分内容：学 习 目 标 1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点) 2．会用均值不等式证明一些简单的..

《章末复习提升课》等式与不等式PPT

第一部分内容：综合提高

不等式性质的应用

(1)下列命题正确的有(　　)

①若a>1，则1a<1；②若a＋c>b，则1a<1b；③对任意实数a，都有a2≥a；④若ac2>bc2，则a>b.

A．1个　   B．2个

C．3个  D．4个

(2)已知2

在判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来，找到与命题相近的性质，应用性质判断命题的真假．注意特殊值法在解有关不等式客观题中的应用．　 

已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)

A．若a>b，则ac2>bc2  B．若ac>bc，则a>b

C．若a3>b3且ab<0，则1a>1bD．若a2>b2且ab>0，则1a<1b

不等式组的解法

(1)解不等式组：

5x－1＜3（x＋1），2x－13－1≤5x＋12；

(2)已知关于x的不等式组x＋a≤0，①3＋2x＞5②的整数解只有3个，求a的取值范围．

(1)解一元一次不等式组的关键是掌握确定各不等式解集的公共部分的规律；同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．

(2)由已知不等式(组)的解集或特殊解来确定字母参数的值或取值范围，常用的求解方法是先用解不等式(组)的方法求出含字母参数的不等式(组)的解集，再代入已给出的条件中，即可求出字母参数的值或取值范围．　 

绝对值不等式的解法

解下列不等式：

(1)|2x＋1|－2|x－1|＞0；

(2)|x＋3|－|2x－1|＜x2＋1.

解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型

的不等式的一般步骤

(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根．

(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间．

(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．

(4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．　 

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章末复习提升课PPT，第二部分内容：素养提升

1．已知集合M＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－12>0}，则M∩N＝(　　)

A．{x|－4≤x<－3或4

B．{x|－4

C．{x|x≤－3或x>4}

D．{x|x<－3或x≥4}

2．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．a＋1b>b＋1a　　B．a＋1a≥b＋1b

C．ba>b＋1a＋1  D．b－1b>a－1a

3．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．

4．解不等式：

(1)x2－4x－5≤0；

(2)－x2＋6x－10＞0；

(3)－2x2＋3x－2＜0.

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《章末复习课》等式与不等式PPT

一元二次方程根与系数的关系

【例1】　如果关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)

A．k＜2且k≠1　B．k＜2且k≠0

C．k＞2  D．k＜－2

A[∵关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)×1＞0，

解得：k＜2且k≠1，故选A.]

根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k－1≠0且Δ＝－22－4k－1×1＞0.

方程组的解集

【例2】　如果关于x，y的二元一次方程组a1x＋b1y＝－2，a2x－b2y＝4的解为x＝1，y＝2，则方程组a1x＋b1y＝－2＋a1a2x－b2y＝4＋a2的解集为(　　)

A．{(x，y)|(2,1)}  B．{(x，y)|(2,3)}

C．{(x，y)|(2,2)}  D．{(x，y)|(1,2)}

求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.

2．已知某三种图书的价格分别为10元，15元，20元．某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，每种图书至少一本，则不同的购书方案有多少种(　　)

A．10     B．9  C．12  D．11

B　[设购买10元的a本，15元的b本，则20元的(30－a－b)本，

依题意得：10a＋15b＋20(30－a－b)＝500，

整理，得2a＋b＝20.

①当b＝2时，a＝9，

②当b＝4时，a＝8.

③当b＝6时，a＝7.

④当b＝8时，a＝6.

⑤当b＝10时，a＝5.

⑥当b＝12时，a＝4.

⑦当b＝14时，a＝3.

⑧当b＝16时，a＝2.

⑨当b＝18时，a＝1.

则不同的购书方案有9种．

故选B.]

一元二次不等式的解法

【例3】解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.

[解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.

函数y＝x2＋(1－a)x－a的图像开口向上，所以

(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；

(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；

(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．

解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.

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《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT(第1课时均值不等式)

第一部分内容：学习目标

理解算术平均值与几何平均值的概念，掌握均值不等式及其推理过程

能够运用均值不等式求函数或代数式的最值

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均值不等式及其应用PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P72－P75的内容，思考以下问题：

1．正数a，b的算术平均值和几何平均值是什么？

2．均值不等式的内容是什么？

3．均值不等式中的等号成立的条件是什么？

4．两个正数的积为常数时，它们的和有什么特点？

5．两个正数的和为常数时，它们的积有什么特点？

1．算术平均值与几何平均值

给定两个正数a，b，数____________称为a，b的算术平均值；数ab 称为a，b的几何平均值．

2．均值不等式

如果a，b都是正数，那么_______________，当且仅当a＝b时，等号成立．

■名师点拨

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．

3．均值不等式与最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最_____值s24.

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最______值2p.

即：两个正数的积为常数时，它们的和有______值；

两个正数的和为常数时，它们的积有______值．

■名师点拨

利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：

①一正：符合均值不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a＞0，b＞0；

②二定：化不等式的一边为定值；

③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．

以上三点缺一不可．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　)

(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2ab.(　　)

(3)若a>0，b>0，则ab≤a＋b22.(　　)

(4)a，b同号时，ba＋ab≥2.(　　)

(5)函数y＝x＋1x的最小值为2.(　　)

  如果a>0，那么a＋1a＋2的最小值是(　　)

A．2　　B．22

C．3       D．4

不等式(x－2y)＋1x－2y≥2成立的前提条件为(　　)

A．x≥2y  B．x>2y

C．x≤2y  D．x<2y

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均值不等式及其应用PPT，第三部分内容：讲练互动

对均值不等式的理解

下列结论正确的是(　　)

A．若x∈R，且x≠0，则4x＋x≥4

B．当x>0时，x＋1x≥2

C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2

D．当0

利用均值不等式直接求最值

(1)已知t＞0，求y＝t2－4t＋1t的最小值；

(2)若实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值．

(1)若a＋b＝p(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值p24，可以用均值不等式ab≤a＋b2求得．

(2)若ab＝s(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2s，可以用均值不等式a＋b≥2ab求得．

不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．　 

利用均值不等式借助拼凑法求最值

(1)已知x>2，则y＝x＋4x－2的最小值为________．

(2)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．

通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．

(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．　 

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均值不等式及其应用PPT，第四部分内容：达标反馈

1．下列不等式中，正确的是(　　)

A．a＋4a≥4　　B．a2＋b2≥4ab

C．ab≥a＋b2    D．x2＋3x2≥23

2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)

A．25  B．252

C．254  D．258

3．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是(　　)

A．2  B．a

C．2aa－1  D．3

4．已知x，y为正实数，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．

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《章末复习课》等式与不等式PPT 题型探究 一元二次方程根与系数的关系 【例1】 如果关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＜2且k1 B..

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《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT(第2课时均值不等式的应用)

第一部分内容：学习目标

会利用均值不等式证明不等式问题

会利用均值不等式解决与函数y＝ax＋bx有关的实际问题

会将不等式的恒成立问题，通过分离参数转化为均值不等式问题求解

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均值不等式及其应用PPT，第二部分内容：讲练互动

利用均值不等式证明不等式

已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：1a－11b－11c－1≥8.

利用均值不等式证明不等式的思路

利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．　 

1．已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.

2．已知a，b，c＞0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.

利用均值不等式解实际应用题

某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？

利用均值不等式解决实际问题的思路

利用均值不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax＋bx≥2ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．　 

1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

2．用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

均值不等式的综合问题

不等式9x＋a2x≥a＋1(常数a＞0)，对一切正实数x成立，求a的取值范围．

(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值．

(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值．

[注意]　f(x)表示有关x的代数值．

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均值不等式及其应用PPT，第三部分内容：达标反馈

1．若a，b∈R，则判断大小关系a2＋b2________2|ab|.(　　)

A．≥　　B．＝

C．≤      D．＞

2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

3．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.

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《章末复习课》等式与不等式PPT 题型探究 一元二次方程根与系数的关系 【例1】 如果关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＜2且k1 B..

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《章末整合》等式与不等式PPT

第一部分内容：探究学习

题型一、一元二次方程的解法

例1(1)用公式法解方程:5x2-4x-1=0;

(2)用配方法解方程:x2+7x-3=0.

解:(1)5x2-4x-1=0,a=5,b=-4,c=-1,

b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=16+20=36>0,

方法技巧(1)找出a、b、c的值,求出b2-4ac的值,然后利用求根公式进行求解即可;

(2)先把常数项移到等式的右边,然后两边同时加上一次项系数一半的平方,左侧配成完全平方式后,再利用直接开平方法求解即可.

变式训练 1用适当的方法解下列方程:

(1)4(3x-5)2=(x-4)2;(2)y2-2y-8=0;(3)x(x-3)=4(x-1).

解:(1)移项,得4(3x-5)2-(x-4)2=0,

分解因式,得[2(3x-5)+(x-4)][2(3x-5)-(x-4)]=0,

化简,得(7x-14)(5x-6)=0,所以7x-14=0或5x-6=0,x1=2,x2=1.2.

(2)移项,得y2-2y=8,

方程两边都加上1,得y2-2y+1=8+1,

所以(y-1)2=9,所以y-1=±3,y1=4,y2=-2.

(3)将方程化为x2-7x+4=0,

∵a=1,b=-7,c=4,∴b2-4ac=33.

... ... ...

题型二、利用基本不等式求最值

例2已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是(　　)

A.1/4B.4C.1/8D.8

解析:由题意得,xy=1/2×2xy≤1/2× (2x+y)/2 2=1/2× 1/2 2=1/8,当且仅当x=1/4,y=1/2时等号成立,所以xy的最大值是1/8.故选C.

方法技巧运用基本不等式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用.当应用不等式的条件不满足时,要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形,使之满足使用不等式的条件,解题时要特别注意等号成立的条件.

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《章末整合》平面向量初步PPT 题型突破深化提升 例1如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点M,N分别是DA,BC的中点,且DC/AB=k,设(AD)=e1,(AB)=e2,以e1,e2为基底表示向量(DC),(BC),(MN). 方法技巧平..

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