幂函数PPT

《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT课件

第一部分内容：学习目标

了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式

结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图像，掌握它们的性质

能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小

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幂函数PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P33－P36的内容，思考以下问题：

1．幂函数是如何定义的？

2．幂函数的解析式具有什么特点？

3．常见幂函数的图像是什么？它具有哪些性质？

1．一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．

名师点拨 

幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．

2．幂函数的图像与性质

(1)五个常见幂函数的图像

(2)五个常见幂函数的性质：

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幂函数PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x－45是幂函数．(　　)

(2)函数y＝2－x是幂函数．(　　)

(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．(　　)

2.  下列所给函数中，是幂函数的是(　　)

A．y＝－x3  B．y＝3x

C．y＝x12   D．y＝x2－1

3. 下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是(　　)

A．y＝x3  B．y＝x2

C．y＝1x  D．y＝x32

4. 已知幂函数f(x)的图像经过点(2，2)，则f(4)＝________．

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幂函数PPT，第四部分内容：讲练互动

幂函数的概念

例1 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

【解】根据幂函数定义得，

m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，

当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．

所以f(x)的解析式为f(x)＝x3.

(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．

(2)幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．　 

幂函数的图像

例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±12四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为(　　)

A．－2，－12，12，2

B．2，12，－12，－2

C．－12，－2，2，12

D．2，12，－2，－12

幂函数图像的特征

(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．

(2)当α＞0时，幂函数的图像都经过(0，0)和(1，1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过(1，1)点，在第一象限内，曲线下凸．　 

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幂函数PPT，第五部分内容：达标反馈

1．下列函数是幂函数的是(　　)

A．y＝5x  B．y＝x5

C．y＝5x  D．y＝(x＋1)3

2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)

A．y＝x13  B．y＝x－12

C．y＝x53  D．y＝x23

3．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)

A．1，3  B．－1，1

C．－1，3  D．－1，1，3

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《幂函数》函数的概念与性质PPT课件

第一部分内容：学习目标

了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式

掌握五种幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象特点

借助五种幂函数的图象，掌握五种幂函数的性质，并会应用

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幂函数PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P89－P91，并思考以下问题：

1．幂函数的定义是什么？

2．幂函数的解析式有什么特点？

3．幂函数的图象有什么特点？

4．幂函数的性质有哪些？

1．幂函数的概念

一般地，函数y＝_____叫做幂函数，其中_____是自变量，_____是常数．

■名师点拨

幂函数的特征

(1)xα的系数为1.

(2)xα的底数是自变量．

(3)xα的指数为常数．

只有同时满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数．

2．幂函数的图象与性质

(1)五种常见幂函数的图象

(2)五类幂函数的性质

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．(　　)

(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．(　　)

(3)当幂指数α取1，3，12时，幂函数y＝xα是增函数．(　　)

(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．　(　　)

下列函数为幂函数的是(　　)

A．y＝2x3　B．y＝2x2－1

C．y＝1xD．y＝3x2

在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是(　　)

若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________．

... ... ...

幂函数PPT，第三部分内容：讲练互动

幂函数的概念

(1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)

A．1　　　B．2

C．3D．4

(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　)

A．1B．－3

C．－1D．3

【解析】(1)②⑦中自变量x在指数的位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．

(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以m2＋2m－2＝1，m>0，所以m＝1.

判断一个函数是否为幂函数的方法

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：

(1)指数为常数；

(2)底数为自变量；

(3)系数为1.

幂函数的图象及应用

已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P2，14，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．

【解】因为f(x)＝xα的图象过点P2，14，

所以f(2)＝14，即2α＝14，

得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．

解决幂函数图象问题应把握的原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x12或y＝x3)来判断．

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幂函数PPT，第四部分内容：达标反馈

1．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x1a－2为幂函数，则实数a的值为(　　)

A．－1或2B．－2或1

C．－1D．1

2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)(　　)

A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．

4．已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．

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