空间直线平面的垂直PPT

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT(直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定)

第一部分内容：学习目标

会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角

理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性

掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题

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空间直线平面的垂直PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：

1．异面直线所成的角的定义是什么？

2．异面直线所成的角的范围是什么？

3．异面直线垂直的定理是什么？

4．直线与平面垂直的定义是什么？

5．直线与平面垂直的判定定理是什么？

1．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是________，就说这两条异面直线________________．直线a与直线b垂直，记作________．

(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.

[名师点拨]

当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．

2．直线与平面垂直

定义 一般地，如果直线l与平面α内的________________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法 l⊥α

有关概念  直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．它们唯一的公共点P叫做________

图示及画法 

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

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空间直线平面的垂直PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．(　　)

(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)

(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)

2.  直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)

A．平行　　B．垂直

C．在平面α内  D．无法确定

3. 已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则(　　)

A．a∥α  B．a⊂α

C．a⊥α  D．a是α的斜线

4.  在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．

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空间直线平面的垂直PPT，第四部分内容：讲练互动

异面直线所成的角

如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．

求：(1)BE与CG所成的角；

(2)FO与BD所成的角．

【解】(1)如图，因为CG∥BF.

所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.

求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．

[提醒]　求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.　 

直线与平面垂直的定义

(1)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行　B．相交

C．异面  D．垂直

(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α  B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m  D．若l∥α，m∥α，则l∥m

对线面垂直定义的理解

(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．

(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.　 

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空间直线平面的垂直PPT，第五部分内容：达标反馈

1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(　　)

A．a⊥b，且a与b相交

B．a⊥b，且a与b不相交

C．a⊥b

D．a与b不一定垂直

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)

A．平面DD1C1C　　B．平面A1DB1

C．平面A1B1C1D1  D．平面A1DB

3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线(　　)

A．相交且垂直  B．不相交也不垂直

C．相交不垂直  D．不相交但垂直

4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________． 

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT(直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理)

第一部分内容：学习目标

了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法

理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题

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空间直线平面的垂直PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P151－P155的内容，思考以下问题：

1．直线与平面所成的角的定义是什么？

2．直线与平面所成的角的范围是什么？

3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？

4．如何求直线到平面的距离？

5．如何求两个平行平面间的距离？

1．直线与平面所成的角

(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的________，斜线和平面的交点A叫做________．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的________．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．

(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.

(3)范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是________________．

名师点拨 

把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．

2．直线与平面垂直的性质定理

名师点拨 

(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．

(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．

3. 线面距与面面距

(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上________________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的________________到另一个平面的距离都________，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 

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空间直线平面的垂直PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m⊂α，则直线l与m所成的角也是60°.(　　)

(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　)

(3)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.(　　)

2.  下列命题：

①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．

其中正确的个数是(　　)

A．0　　B．1

C．2       D．3

3.  若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(　　)

A．有且只有一个

B．可能存在也可能不存在

C．有无数多个

D．一定不存在

4.  在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；

(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；

(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．

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空间直线平面的垂直PPT，第四部分内容：讲练互动

直线与平面所成的角

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值． 

线面垂直的性质定理的应用

如图，已知正方体A1C.

(1)求证：A1C⊥B1D1；

(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，

求证：MN∥A1C.

(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．

(2)直线与平面垂直的其他性质

①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；

②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；

③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α；

④垂直于同一条直线的两个平面平行；

⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．　 

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空间直线平面的垂直PPT，第五部分内容：达标反馈

1．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　)

A．60°　　B．45°

C．30°  D．90°

2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是(　　)

A．PB⊥BC  B．PD⊥CD

C．PD⊥BD  D．PA⊥BD

3.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有(　　)

A．1条  B．2条

C．3条  D．无数条

4.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.

求证：BC∥FG.