《二次函数图象和性质》二次函数PPT课件2

在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。

这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。

对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量。

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问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为y=6x2.

此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于y的每一个值，x都有唯一的一个对应值，即y是x的函数。

问题２：n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？

每个球队n要与其他（n-1）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数

m=1/2n(n-1)即m=1/2n²-1/2n

此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数。

... ... ...

1、下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？为什么？

A  y=ax2+bx+c            B  y2=x2-4x+1

C  y=x2                        D y=2+ √x2+1

2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(           )

A m,n是常数,且m≠0        Bm,n是常数,且n≠0

C m,n是常数,且m≠n        Dm,n为任何实数

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检验你的收获

1. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.

2. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm².  

(1)写出y与x之间的函数关系表达式；                            

(2)当圆的半径分别增加2cm时,圆的面积增加多少?

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1、一次函数的图像有何特征？ 

一次函数的图像是一条直线。

当k>0时，y随x的增大而增大；

当k<0时，y随x的增大而减小。

2、反比例函数的图像有何特征？

反比例函数的图像是_______，共有_______支，且关于_______对称。

当_______时，图像在_______象限，在每个象限内y随x的增大而减小；

当_______时，图像在_______象限，在每个象限内y随x的增大而_______。

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思考：这个二次函数图象有什么特征？

（1）形状是开口向上的抛物线

（2）图象关于y轴对称 

（3）有最低点，没有最高点 

二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y= x² ，

二次函数的图象都是抛物线。

一般地，二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax² + bx + c

y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．

实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．

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1.把抛物线y=1/2x²向下平移2个单位，可以得到抛物线__________，再向上平移5个单位，可以得到抛物线__________；

2.对于函数y= –x2+1，当x__________时，函数值y随x的增大而增大；当x__________时，函数值y随x的增大而减小；当x__________时，函数取得最__________值,为__________。

《二次函数的图像与性质》二次函数PPT课件2 1、已知抛物线y=ax2+bx+c 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 经过点（-10），则a-b+c=0 经过点（0-3），则c=-3 经过点（45），则16a+4b+c=5 对称轴..

《二次函数图象和性质》二次函数PPT课件 知识回顾 1、二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax+bx+c(abc是常数a 0) 二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经..

1、已知抛物线y=ax2+bx+c

当x=1时，y=0，则a+b+c=0

经过点（-1,0），则a-b+c=0

经过点（0,-3），则c=-3

经过点（4,5），则16a+4b+c=5

对称轴为直线x=1，则-b/2a=1

2、已知抛物线y=a（x-h）2+k

顶点坐标是（-3,4）， 则h=_____,k=______，

代入得y=a（x+3）2+4

对称轴为直线x=1，则h=1

代入得y=a（x-1）2+k

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二次函数常用的几种解析式

一般式     y=ax2+bx+c    (a≠0)

已知三个点坐标三对对应值，选择一般式

顶点式     y=a(x-h)2+k    (a≠0)

已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式

交点式     y=a(x-x1)(x-x2)   (a≠0)

已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式

用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。 

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知识与能力

总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

过程与方法

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

情感态度与价值观

通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想。

教学重难点

二次函数与一元二次方程之间的关系。

利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。

一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

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下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.

（1） y = 2x2＋x－3

（2） y = 4x2 －4x +1

（3） y = x2 – x+ 1

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系

 y=ax2+bx+c 的图象与x轴 

有两个交点

有一个交点

ax2+bx+c = 0 的根

b2 – 4ac > 0

b2 – 4ac = 0

b2 – 4ac < 0

若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则b2 – 4ac ≥ 0。

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1.不与x轴相交的抛物线是（         ）

A. y = 2x2 – 3           B. y=－2 x2 + 3        

C. y= －x2 – 3x         D. y=－2(x+1)2 －3

2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（         ） 

A. 无交点                  B. 只有一个交点   

C. 有两个交点           D. 不能确定

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学习目标：

1、探索矩形最大面积问题和窗户透光最大面积问题.

2 、会分析问题中变量之间的二次函数关系，并解决最大（小）值问题。

3、总结解题策略，掌握解题的方法。

自学指导：

阅读课本67-68页，思考以下问题：

1、图2-21中相似三角形有哪些？ AB发生变化，AD随之也变化吗？矩形面积变化吗？

2 、 设AB=x,则AD=___________。（用含x的代数式表示）面积y如何求？

3、图2-22中x变化，y随之变化吗？面积呢？

4 、写出y与x的关系式___________。面积如何求？ 

5、由67页两个问题总结解决此类问题的基本方法。

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自学检测：

在Rt△ MAN中，AN=40m,AM=30m,在它的内部作一个矩形ABCD，

1.图中相似三角形有____________________。

2. 设AB=xm,则AD=____________。（用含x的代数式表示）设矩形面积为ym² , 设矩形面积为ym² ,则y与x的关系式是____________________，当x=_______m时y最大=_______ m²

3.设AD=xm,矩形面积为ym²，求矩形的最大面积。

何时面积最大 

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.

(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？

(2).设矩形的面积为ym²,当x取何值时,y的最大值是多少?

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“二次函数应用” 的思路 

回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.

1.理解问题;

2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;

3.用数学的方式表示出它们之间的关系;

4.做数学求解;

5.检验结果的合理性.

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学习目标：

1.从具体情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的关系，体会出二次函数的意义。

2.能写出一些简单函数的解析式并会判断是否是二次函数。

定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。其中：a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.

（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。

（2）等式的右边最高次数为2。

（3）a,b,c为常数，且a≠0.

(可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。)

（4）x的取值范围是任意实数。

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二次函数的一般形式:

y＝ax2＋bx＋c  (其中a、b、c是常数,a≠0)

二次函数的特殊形式：

当b＝0时， y＝ax2＋c

当c＝0时， y＝ax2＋bx

当b＝0，c＝0时， y＝ax2

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例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.

(1)y=3(x-1)²+1     (2)y=x+1/x

(3)s=3-2t²            (4)y=(x+3)²-x²

(5)y=1/x²-x          (6)v=10πr²

判断一个函数是否是二次函数，看它是否化简成y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的形式。

例2、已知函数  y= （m+3）x m2-7          

（1）m取什么值时，此函数是二次函数？

（2）m取什么值时，此函数是正比例函数？

（3）m取什么值时，此函数是反比例函数？

... ... ...

已知函数y=(k²- k)x²+kx+√2

(1)k为何值时，y是x的一次函数？

(2)k为何值时，y是x的二次函数？

解（1）根据题意得 k²- k=0

k=1时 y是x的一次函数。k≠0

2) 当k²- k≠0 时y是x的二次函数。

k≠0且k≠1

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1、下列函数中，（x,t是自变量），哪些是二次函数？(      )

A  y=ax2+bx+c      B  y2=x2-4x+1

C  y=x2                 D y=2+ √x2+1

2、函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(       )

A、m,n是常数,且m≠0     B、m,n是常数,且n≠0

C、m,n是常数,且m≠n     D、m,n为任何实数

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课堂小结：

通过本节课的学习，你有哪些收获？

1、二次函数定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）的函数叫做二次函数。

2、判断一个函数为二次函数的方法与步骤：

（1）先将函数进行整理，使其右边是含自变量的代数式，左边是应变量；

（2）判别含自变量的代数式是否为整式；

（3）判别含自变量的项的最高次数是否为2；

（4）判别二次项的系数是否为0。

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1、一次函数的图像有何特征？ 

一次函数的图像是一条直线。

当k>0时，y随x的增大而增大；

当k<0时，y随x的增大而减小。

2、反比例函数的图像有何特征？

反比例函数的图像是_______，共有_______支，且关于_______对称。

当_______时，图像在_______象限，在每个象限内y随x的增大而减小；

当_______时，图像在_______象限，在每个象限内y随x的增大而_______。

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思考：这个二次函数图象有什么特征？

（1）形状是开口向上的抛物线

（2）图象关于y轴对称 

（3）有最低点，没有最高点 

二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y= x² ，

二次函数的图象都是抛物线。

一般地，二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax² + bx + c

y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．

实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．

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1.把抛物线y=1/2x²向下平移2个单位，可以得到抛物线__________，再向上平移5个单位，可以得到抛物线__________；

2.对于函数y= –x2+1，当x__________时，函数值y随x的增大而增大；当x__________时，函数值y随x的增大而减小；当x__________时，函数取得最__________值,为__________。

《二次函数的图像与性质》二次函数PPT课件2 1、已知抛物线y=ax2+bx+c 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 经过点（-10），则a-b+c=0 经过点（0-3），则c=-3 经过点（45），则16a+4b+c=5 对称轴..

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1、已知抛物线y=ax2+bx+c

当x=1时，y=0，则a+b+c=0

经过点（-1,0），则a-b+c=0

经过点（0,-3），则c=-3

经过点（4,5），则16a+4b+c=5

对称轴为直线x=1，则-b/2a=1

2、已知抛物线y=a（x-h）2+k

顶点坐标是（-3,4）， 则h=_____,k=______，

代入得y=a（x+3）2+4

对称轴为直线x=1，则h=1

代入得y=a（x-1）2+k

... ... ...

二次函数常用的几种解析式

一般式     y=ax2+bx+c    (a≠0)

已知三个点坐标三对对应值，选择一般式

顶点式     y=a(x-h)2+k    (a≠0)

已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式

交点式     y=a(x-x1)(x-x2)   (a≠0)

已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式

用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。 

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