《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第二课时基本不等式的应用)

《习题课 基本不等式的应用》一元二次函数、方程和不等式PPT

第一部分内容：课标阐释

1.能够利用基本不等式求函数的最值和代数式的最值.

2.能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题.

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习题课基本不等式的应用PPT，第二部分内容：自主预习

利用基本不等式求函数、代数式,及实际问题中的最值

1.(1)基本不等式√ab≤(a+b)/2应用的条件是什么?

提示:一正二定三相等,即:①a,b均为正数;②a+b和ab中有一个为定值;③不等式中的等号必须能取到.

(2)已知(a+b)/2≥√ab,其中a>0,b>0,若ab为常数P,那么a+b的值如何变化?

(3)若a+b为常数S,那么ab的值如何变化?

提示:当且仅当a=b时,ab有最大值1/4S2.

2.填空 

公式的等价变形:ab≤(a^2+b^2)/2,ab≤ (a+b)/2 2.

3.做一做

(1)函数f(x)=x+  (x<0)的最大值为________; 

(2)若正数a,b满足2a+3b=8,则ab的最大值是________. 

解析:(1)由于x<0,所以f(x)=x+9/x=-['(-' x')' +('-'  9/x)]≤-2√('(-' x')•' ('-'  9/x) )=-6,当且仅当-x=-9/x,即x=-3时,函数取最大值-6.

(2)由于a,b>0,所以ab=1/6•2a•3b≤1/6•((2a+3b)/2)^2=8/3,当且仅当2a=3b,即a=2,b=4/3时,ab取最大值8/3.

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习题课基本不等式的应用PPT，第三部分内容：探究学习

探究一利用基本不等式求函数和代数式的最值

1.通过变形后应用基本不等式求最值

例1求下列函数的最值,并求出相应的x值.

(1)y=x+1/2x(x<0);

(2)y=1/(x'-' 3)+x(x>3);

(3)y=x(1-3x) 0

解:(1)y=x+1/2x=- (-x)+1/(2'(-' x')' ) ≤-2√('(-' x')•'  1/(2'(-' x')' ))=-√2,当且仅当x=1/2x(x<0),即x=-√2/2时,y取最大值-√2.

(2)y=1/(x'-' 3)+x=1/(x'-' 3)+(x-3)+3≥2√(1/(x'-' 3) '•(' x'-' 3')' )+3=5,当且仅当1/(x'-' 3)=x-3(x>3),即x=4时,y取最小值5.

(3)y=x(1-3x)=1/3×3x(1-3x)≤1/3× (3x+'(' 1'-' 3x')' )/2 2=1/12,当且仅当3x=1-3x,即x=1/6时,y取最大值1/12.

反思感悟  利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第三章学习). 

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习题课基本不等式的应用PPT，第四部分内容：随堂演练

1.函数y=2x(2-x)(其中0

A.1/4B.1/2C.1D.2

解析:∵0

答案:D 

2.设x>0,y>0,x+y=4,则1/x+4/y的最小值为_______. 

解析:∵x+y=4,∴1/x+4/y=1/4   1/x+4/y (x+y)=1/4 5+y/x+4x/y ,

又x>0,y>0,则y/x+4x/y≥2√(y/x '•'  4x/y)=4 当且仅当y/x=4x/y时取等号 ,

则1/x+4/y≥1/4×(5+4)=9/4.

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《章末复习课》一元二次函数、方程和不等式PPT 提醒探究 不等式的性质 【例1】如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是( ) A．ab＞ac B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab..

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《章末整合》一元二次函数、方程和不等式PPT

第一部分内容：深化提升

专题一　用基本不等式求最值

例1已知函数y=x+m/(x'-' 1)(m>0).

(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;

(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的值.

分析:(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当x<1时,x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等号成立的条件求参数m的值.

解:(1)当m=1时,y=x+1/(x'-' 1)=x-1+1/(x'-' 1)+1.

∵x>1,∴x-1>0.

∴y=x-1+1/(x'-' 1)+1≥2√('(' x'-' 1')•'  1/(x'-' 1))+1=3,

当且仅当x-1=1/(x'-' 1),即x=2时取等号,

所以当x>1时函数的最小值为3.

(2)∵x<1,∴x-1<0,∴y=x-1+m/(x'-' 1)+1=- 1-x+m/(1'-' x) +1≤-2√('(' 1'-' x')•'  m/(1'-' x))+1=-2√m+1,

当且仅当1-x=m/(1'-' x),即x=1-√m时取等号,即函数的最大值为-2√m+1,

所以-2√m+1=-3,解得m=4.

方法技巧 应用基本不等式求最值的技巧

1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.

2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性.(将在下章中学习)

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《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第一课时基本不等式)

第一部分内容：学习目标

理解基本不等式的内容及导出过程

能够运用基本不等式求函数或代数式的最值

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基本不等式PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P44－P46，并思考以下问题：

1．基本不等式的内容是什么？

2．基本不等式成立的条件是什么？

3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？

1．重要不等式与基本不等式

■名师点拨

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．

2．基本不等式与最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当_______时，积xy取得最_______值_______．

(2)若xy＝P(积为定值)，则当_______时，和x＋y取得最_______值_______．

记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．

■名师点拨

利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：

①一正：符合基本不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a＞0，b＞0；

②二定：化不等式的一边为定值；

③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．

以上三点缺一不可．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　)

(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2ab.(　　)

(3)若a>0，b>0，则ab≤a＋b22.(　　)

(4)a，b同号时，ba＋ab≥2.(　　)

(5)函数y＝x＋1x的最小值为2.(　　)

如果a>0，那么a＋1a＋2的最小值是(　　)

A．2　　B．22

C．3       D．4

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基本不等式PPT，第三部分内容：讲练互动

对基本不等式的理解

下列结论正确的是(　　)

A．若x∈R，且x≠0，则4x＋x≥4

B．当x>0时，x＋1x≥2

C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2

D．当0

【解析】　对于选项A，当x<0时，4x＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝1x，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－1x在0

给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使ba＋ab≥2成立的条件有(　　)

A．1个　   B．2个

C．3个  D．4个

利用基本不等式直接求最值

(1)已知t＞0，求y＝t2－4t＋1t的最小值；

(2)若正实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值．

(1)若a＋b＝S(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值S24，可以用基本不等式ab≤a＋b2求得．

(2)若ab＝P(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2P，可以用基本不等式a＋b≥2ab求得．

不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．　 

1．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16  B．25

C．9  D．36

2．若a，b都是正数，则1＋ba1＋4ab的最小值为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

利用基本不等式求最值

(1)已知x>2，则y＝x＋4x－2的最小值为________．

(2)若0

(3)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　 

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基本不等式PPT，第四部分内容：达标反馈

1．下列不等式中，正确的是(　　)

A．a＋4a≥4　B．a2＋b2≥4ab

C．ab≥a＋b2  D．x2＋3x2≥23

2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)

A.25  B.25/2

C.25/4  D.25/8

3．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是(　　)

A．2  B．a

C．2aa－1  D．3

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《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第二课时基本不等式的应用)

第一部分内容：讲练互动

利用基本不等式证明不等式

已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：1a－11b－11c－1≥8.

【证明】　因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，

所以1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，

同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，

得1a－11b－11c－1≥2bca•2acb•2abc＝8.

当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．

在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9.

证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，

所以1a＋1b＋1c

＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc

＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc　

≥3＋2＋2＋2＝9.

当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．

利用基本不等式证明不等式的思路

利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．　 

... ... ...

基本不等式PPT，第二部分内容：达标反馈

1．若a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2________2|ab|.(　　)

A．≥　　B．＝

C．≤      D．＞

2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

3．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.

《章末复习课》一元二次函数、方程和不等式PPT 提醒探究 不等式的性质 【例1】如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是( ) A．ab＞ac B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab..

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《章末复习提升课》一元二次函数、方程和不等式PPT

不等式性质的应用

(1)下列命题正确的有(　　)

①若a>1，则1a<1；②若a＋c>b，则1a<1b；③对任意实数a，都有a2≥a；④若ac2>bc2，则a>b.

A．1个　　B．2个

C．3个  D．4个

(2)已知2

在判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来，找到与命题相近的性质，应用性质判断命题真假．注意特殊值法在解有关不等式客观题中的应用．　 

已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)

A．若a>b，则ac2>bc2

B．若ac>bc，则a>b

C．若a3>b3且ab<0，则1a>1b

D．若a2>b2且ab>0，则1a<1b

解析：选C.当c＝0时，可知A不正确；当c<0时，可知B不正确；由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以1a>1b成立，C正确；当a<0且b<0时，可知D不正确．

基本不等式

若x>0，y>0，且x＋2y＝5，求9x＋2y的最小值，并求出取得最小值时x，y的值．

【解析】　因为x>0，y>0，且x＋2y＝5，

所以9x＋2y＝15(x＋2y)9x＋2y

＝1513＋18yx＋2xy

条件不等式的最值问题的解题策略

(1)对于条件的使用是解此类问题的关键，常用的方法有代入法、“1”的代换等，解题还要注意在变形的过程中字母取值的限制，否则可能影响取等号时字母的取值．

(2)对于要求最值的式子的变形也至关重要，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号必须取到，否则此种变形就是错误的．　 

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《章末复习课》一元二次函数、方程和不等式PPT

不等式的性质

【例1】如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是(　　)

A．ab＞ac　　B．c(b－a)＞0

C．cb2＜ab2   D．ac(a－c)＜0

C　[c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0.

对于A：b＞ca＞0⇒ab＞ac，A正确．

对于B：b＜a⇒b－a＜0c＜0⇒c•(b－a)＞0，B正确．

对于C：c＜ab2≥0⇒cb2≤ab2 cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．

对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C.]

不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了.

1．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　)

A．ab>ac

B．ac>bc

C．a|b|>c|b|

D．a2>b2>c2

2．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．

基本不等式

【例2】设x<－1，求y＝x＋5x＋2x＋1的最大值．

[解]　∵x<－1，∴x＋1<0.

∴－(x＋1)>0，

∴y＝x＋5x＋2x＋1＝x2＋7x＋10x＋1

＝x＋12＋5x＋1 ＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5

＝－－x＋1＋4－x＋1＋5

≤－24＋5＝1，

当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．]

基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.

... ... ...

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《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第一课时基本不等式)

第一部分内容：学习目标

理解基本不等式的内容及导出过程

能够运用基本不等式求函数或代数式的最值

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基本不等式PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P44－P46，并思考以下问题：

1．基本不等式的内容是什么？

2．基本不等式成立的条件是什么？

3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？

1．重要不等式与基本不等式

■名师点拨

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．

2．基本不等式与最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当_______时，积xy取得最_______值_______．

(2)若xy＝P(积为定值)，则当_______时，和x＋y取得最_______值_______．

记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．

■名师点拨

利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：

①一正：符合基本不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a＞0，b＞0；

②二定：化不等式的一边为定值；

③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．

以上三点缺一不可．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　)

(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2ab.(　　)

(3)若a>0，b>0，则ab≤a＋b22.(　　)

(4)a，b同号时，ba＋ab≥2.(　　)

(5)函数y＝x＋1x的最小值为2.(　　)

如果a>0，那么a＋1a＋2的最小值是(　　)

A．2　　B．22

C．3       D．4

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基本不等式PPT，第三部分内容：讲练互动

对基本不等式的理解

下列结论正确的是(　　)

A．若x∈R，且x≠0，则4x＋x≥4

B．当x>0时，x＋1x≥2

C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2

D．当0

【解析】　对于选项A，当x<0时，4x＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝1x，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－1x在0

给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使ba＋ab≥2成立的条件有(　　)

A．1个　   B．2个

C．3个  D．4个

利用基本不等式直接求最值

(1)已知t＞0，求y＝t2－4t＋1t的最小值；

(2)若正实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值．

(1)若a＋b＝S(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值S24，可以用基本不等式ab≤a＋b2求得．

(2)若ab＝P(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2P，可以用基本不等式a＋b≥2ab求得．

不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．　 

1．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16  B．25

C．9  D．36

2．若a，b都是正数，则1＋ba1＋4ab的最小值为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

利用基本不等式求最值

(1)已知x>2，则y＝x＋4x－2的最小值为________．

(2)若0

(3)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　 

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基本不等式PPT，第四部分内容：达标反馈

1．下列不等式中，正确的是(　　)

A．a＋4a≥4　B．a2＋b2≥4ab

C．ab≥a＋b2  D．x2＋3x2≥23

2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)

A.25  B.25/2

C.25/4  D.25/8

3．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是(　　)

A．2  B．a

C．2aa－1  D．3

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《章末复习课》一元二次函数、方程和不等式PPT 提醒探究 不等式的性质 【例1】如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是( ) A．ab＞ac B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab..

《章末复习提升课》一元二次函数、方程和不等式PPT 综合提高 不等式性质的应用 (1)下列命题正确的有( ) ①若a1，则1a1；②若a＋cb，则1a1b；③对任意实数a，都有a2a；④若ac2bc2，则a..

《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第2课时) 第一部分内容：学 习 目 标 1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点). 2.理解三个二次之间的关系. 3...

《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第二课时基本不等式的应用)

第一部分内容：讲练互动

利用基本不等式证明不等式

已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：1a－11b－11c－1≥8.

【证明】　因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，

所以1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，

同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，

得1a－11b－11c－1≥2bca•2acb•2abc＝8.

当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．

在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9.

证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，

所以1a＋1b＋1c

＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc

＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc　

≥3＋2＋2＋2＝9.

当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．

利用基本不等式证明不等式的思路

利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．　 

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基本不等式PPT，第二部分内容：达标反馈

1．若a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2________2|ab|.(　　)

A．≥　　B．＝

C．≤      D．＞

2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

3．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.

《章末复习课》一元二次函数、方程和不等式PPT 提醒探究 不等式的性质 【例1】如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是( ) A．ab＞ac B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab..

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《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第2课时) 第一部分内容：学 习 目 标 1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点). 2.理解三个二次之间的关系. 3...