《余弦定理、正弦定理》平面向量及其应用PPT(第4课时三角形中的几何计算)

《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT

第一部分内容：学习目标

了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念

理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念

... ... ...

平面向量的概念PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：

1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

3．两个向量(向量的模)能否比较大小？

4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB→与向量BA→是相等向量吗？

... ... ...

平面向量的概念PPT，第三部分内容：新知初探

1．向量的概念及表示

(1)概念：既有______又有______的量．

(2)有向线段

①定义：具有方向的线段．

②三个要素：______、______、______．

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作______．

④长度：线段AB的_____也叫做有向线段AB→的长度，记作_____.　

■名师点拨 

(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．

(2)用有向线段表示向量时，要注意AB→的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．

2．向量的有关概念

(1)向量的模(长度)：向量AB→的大小，称为向量AB→的______ (或称模)，记作______．

(2)零向量：长度为______的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于__________________的向量．

3．两个向量间的关系

(1)平行向量：方向______或______的非零向量，也叫做____________．若a，b是平行向量，记作a∥b.

规定：零向量与任意向量______，即对任意向量a，都有______．

(2)相等向量：长度______且方向______的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.

■名师点拨 

(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．

(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．

(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

... ... ...

平面向量的概念PPT，第四部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量，长度大的向量较大．(　　)

(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．(　　)

(3)向量的模是一个正实数．(　　)

(4)向量就是有向线段．(　　)

(5)向量AB→与向量BA→是相等向量．(　　)

(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．(　　)

(7)零向量是最小的向量．(　　)

2.已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　)

A．也可以用MN→表示　B．方向是由M指向N

C．起点是M  D．终点是M

3. 已知点O固定，且|OA→|＝2，则A点构成的图形是(　　)

A．一个点  B．一条直线

C．一个圆  D．不能确定

4.  如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED→相等的向量有________．

... ... ...

平面向量的概念PPT，第五部分内容：讲练互动

向量的相关概念

给出下列命题：

①若AB→＝DC→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

②在▱ABCD中，一定有AB→＝DC→；

③若a＝b，b＝c，则a＝c.

其中所有正确命题的序号为________．

【解析】AB→＝DC→，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．　

(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件

①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．

(2)理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．　 

1．下列说法中正确的是(　　)

A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

C．向量的大小与方向有关

D．向量的模可以比较大小

2．下列说法正确的是(　　)

A．向量AB→∥CD→就是AB→所在的直线平行于CD→所在的直线

B．长度相等的向量叫做相等向量

C．零向量与任一向量平行

D．共线向量是在一条直线上的向量

向量的表示

在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)OA→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°方向上；

(2)AB→，使|AB→|＝4，点B在点A正东方向上；

(3)BC→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．

【解】(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．

(2)由于点B在点A正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．

(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．

... ... ...

平面向量的概念PPT，第六部分内容：达标反馈

1.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE→平行的向量的个数为(　　)

A．1　　B．2

C．3      D．4

2．下列结论中正确的是(　　)

①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；

②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；

③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；

④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|.

A．①③　B．②③

C．③④   D．②④

3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

(1)与BC→相等的向量；

(2)与OB→长度相等的向量；

(3)与DA→共线的向量．

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第四课时余弦定理、正弦定理应用举例) 第一部分内容：内容标准 1.了解实际测量中专用名词与术语． 2.熟练掌握正、余弦定理． 3.能用余弦..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第三课时正弦定理和余弦定理的综合应用) 第一部分内容：内容标准 1.掌握三角形的面积公式及其应用． 2.熟练掌握利用正、余弦定理判断三角..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第二课时正弦定理) 第一部分内容：内容标准 1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形..

《平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示》平面向量及其应用PPT

第一部分内容：学习目标

理解向量正交分解以及坐标表示的意义

掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则

理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题

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平面向量的分解及加减数乘运算的坐标表示PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P27－P33的内容，思考以下问题：

1．怎样分解一个向量才为正交分解？

2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？

3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？

4．若a＝(x，y)，则λa的坐标是什么？

1．平面向量坐标的相关概念

(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．

(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 

2．平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则

①a＋b＝_________________；

②a－b＝__________________；

③λa＝_______________．

(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____坐标减去_____坐标．

(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．

(2)已知向量AB→的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)．

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平面向量的分解及加减数乘运算的坐标表示PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)点的坐标与向量的坐标相同．(　　)

(2)零向量的坐标是(0，0)．(　　)

(3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)

(4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)

2.已知A(3，1)，B(2，－1)，则BA→的坐标是(　　)

A．(－2，－1)　　B．(2，1)

C．(1，2)     D．(－1，－2)

3. 如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则AB→可以表示为(　　)

A．2i＋3j  B．4i＋2j

C．2i－j  D．－2i＋j

4.  设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为____________．

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平面向量的分解及加减数乘运算的坐标表示PPT，第四部分内容：讲练互动

平面向量的坐标表示

已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA→|＝43，∠xOA＝60°，

(1)求向量OA→的坐标；

(2)若B(3，－1)，求BA→的坐标．

求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．

(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．

平面向量的坐标运算

(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)

A．(－23，－12)　　B．(23，12)

C．(7，0)  D．(－7，0)

(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3 CA→，CN→＝2 CB→，求点M，N的坐标．

【解】(1)选A.因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．

(2)法一：因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，

所以CA→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，

CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)．

因为CM→＝3 CA→，CN→＝2 CB→， 

所以CM→＝3(1，8)＝(3，24)，CN→＝2(6，3)＝(12，6)．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

所以CM→＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，

CN→＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，

所以x1＋3＝3，y1＋4＝24，x2＋3＝12，y2＋4＝6.解得x1＝0，y1＝20，x2＝9，y2＝2.

所以M(0，20)，N(9，2)．

平面向量坐标(线性)运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．　 

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平面向量的分解及加减数乘运算的坐标表示PPT，第五部分内容：达标反馈

1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝(　　)

A．(5，7)　　　B．(5，9)

C．(3，7)　　　D．(3，9)

2．已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且AC→＝2BD→，则x＋y＝________．

3．已知点B(1，0)是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b＝(－3，4)，c＝(－1，1)与a的关系为a＝3b－2c，求向量a的起点坐标．

《两向量共线的充要条件及应用》平面向量及其应用PPT

第一部分内容：自主学习

预习教材P31－P33的内容，思考以下问题：

1．两向量共线的充要条件是什么？

2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？

两向量共线的充要条件

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b(b≠0)共线的充要条件是_________________．

名师点拨 

(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成x1x2＝y1y2(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.

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两向量共线的充要条件及应用PPT，第二部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．(　　)

(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.(　　)

2. 下列各组的两个向量共线的是(　　)

A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6)

B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14)

C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2)

D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4)

3. 已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与AB→平行且方向相反的向量a可能是(　　)

A．a＝(1，－2)

B．a＝(9，3)

C．a＝(－1，2)

D．a＝(－4，－8)

4. 已知a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若a∥b，则实数λ的值为________．

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两向量共线的充要条件及应用PPT，第三部分内容：讲练互动

向量共线的判定

例1 (1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________．

(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断AB→与AC→是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

【解】(1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，

因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，

所以k＝－13.故填－13.

(2)因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，

AC→＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，

因为2×6－3×4＝0，

所以AB→∥AC→，所以AB→与AC→共线．

又AB→＝23AC→，所以AB→与AC→的方向相同．

1．(2019•河北衡水景县中学检测)已知向量a＝(－1，2)，b＝(λ，1)．若a＋b与a平行，则λ＝(　　)

A．－5　　B．52

C．7  D．－12

2．已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断AB→与CD→是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

三点共线问题

例2 (1)已知OA→＝(3，4)，OB→＝(7，12)，OC→＝(9，16)，求证：点A，B，C共线；

(2)设向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．

... ... ...

两向量共线的充要条件及应用PPT，第四部分内容：达标反馈

1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　)

A．(4，0)　B．(0，4)

C．(4，－8)  D．(－4，8)

2．若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是(　　)

A．2m－n＝3  B．n－m＝1

C．m＝3，n＝5  D．m－2n＝3

3．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．

(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第四课时余弦定理、正弦定理应用举例) 第一部分内容：内容标准 1.了解实际测量中专用名词与术语． 2.熟练掌握正、余弦定理． 3.能用余弦..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第三课时正弦定理和余弦定理的综合应用) 第一部分内容：内容标准 1.掌握三角形的面积公式及其应用． 2.熟练掌握利用正、余弦定理判断三角..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第二课时正弦定理) 第一部分内容：内容标准 1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形..

《余弦定理、正弦定理》平面向量及其应用PPT(第1课时余弦定理)

第一部分内容：学习目标

了解余弦定理的推导过程

掌握余弦定理的几种变形公式及应用

能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题

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余弦定理正弦定理PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P42－P44的内容，思考以下问题：

1．余弦定理的内容是什么？

2．余弦定理有哪些推论？

1．余弦定理

文字语言三角形中任何一边的______，等于其他两边____________减去这两边与它们夹角的________________________ 

符号语言a2＝__________________

b2＝__________________

c2＝__________________

余弦定理的理解

(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. 

(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．

(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系． 

2．余弦定理的推论

cos A＝____________；

cos B＝____________；

cos C＝____________．

名师点拨 

余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式,适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．

3．三角形的元素与解三角形

(1)三角形的元素

三角形的_______________________和它们的__________________叫做三角形的元素．

(2)解三角形

已知三角形的____________求其他______的过程叫做解三角形．

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余弦定理正弦定理PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．(　　)

(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．(　　)

(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)

(4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．(　　)

(5)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角形．(　　)

2.  在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝61，则角C等于(　　)

A．120°　 B．90°

C．60°  D．45°

3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B等于(　　)

A.π6　　  B.π3

C.π6或5π6  D.π3或2π3

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余弦定理正弦定理PPT，第四部分内容：讲练互动

已知两边及一角解三角形

例1  (1)(2018•高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A．42　　B．30

C．29  D．25

(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝(　　)

A．2　　  B．3

C．2  D．3

解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤

(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．

(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　 

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余弦定理正弦定理PPT，第五部分内容：达标反馈

1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝(　　)

A．90°　　　B．120°

C．135°  D．150°

2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)

A．30°  B．60°

C．120°  D．150°

3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________．

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第四课时余弦定理、正弦定理应用举例) 第一部分内容：内容标准 1.了解实际测量中专用名词与术语． 2.熟练掌握正、余弦定理． 3.能用余弦..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第三课时正弦定理和余弦定理的综合应用) 第一部分内容：内容标准 1.掌握三角形的面积公式及其应用． 2.熟练掌握利用正、余弦定理判断三角..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第二课时正弦定理) 第一部分内容：内容标准 1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形..

《余弦定理、正弦定理》平面向量及其应用PPT(第2课时正弦定理)

第一部分内容：学习目标

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法

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余弦定理正弦定理PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P45－P48的内容，思考以下问题：

1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？

2．正弦定理的内容是什么？

1．正弦定理

条件   在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c

结论   ________＝bsin B＝________

文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等

名师点拨 

对正弦定理的理解

(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．

(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．

2．正弦定理的变形

若R为△ABC外接圆的半径，则

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；

(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

(4)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R.

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余弦定理正弦定理PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦定理不适用于直角三角形．(　　)

(2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．(　　)

(3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　)

(4)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.(　　)

2.  在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝(　　)

A.15　B.59

C.53   D.1

3.  在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝22，则c＝(　　)

A.22  B.1

C.2    D.2

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余弦定理正弦定理PPT，第四部分内容：讲练互动

已知两角及一边解三角形

例1在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．

规律方法 

已知三角形的两角和任一边解三角形的思路

(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．

(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．　 

已知两边及其中一边的对角解三角形

例2 已知△ABC中的下列条件，解三角形：

(1)a＝10，b＝20，A＝60°；

(2)a＝2，c＝6，C＝π3.

(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路

①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；

②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；

③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．

(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法

... ... ...

余弦定理正弦定理PPT，第五部分内容：达标反馈

1．(2019•辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　)

A.33　　B.63

C.32      D.62

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　)

A．1∶2∶3　　B．3∶2∶1

C．2∶3∶1      D．1∶3∶2

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形  B．直角三角形

C．等腰直角三角形  D．等腰三角形或直角三角形

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第四课时余弦定理、正弦定理应用举例) 第一部分内容：内容标准 1.了解实际测量中专用名词与术语． 2.熟练掌握正、余弦定理． 3.能用余弦..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第三课时正弦定理和余弦定理的综合应用) 第一部分内容：内容标准 1.掌握三角形的面积公式及其应用． 2.熟练掌握利用正、余弦定理判断三角..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第二课时正弦定理) 第一部分内容：内容标准 1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形..

《余弦定理、正弦定理》平面向量及其应用PPT(第3课时余弦定理、正弦定理应用举例)

第一部分内容：学习目标

理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义

会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题

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余弦定理正弦定理PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P48－P51的内容，思考以下问题：

1．什么是基线？

2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？

3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做______．

2．基线与测量精确度的关系

一般来说，基线越长，测量的精确度越______．

名师点拨 

实际测量中的有关名称、术语

仰角  在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 

俯角  在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 

方向角  从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)

方位角  从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角

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余弦定理正弦定理PPT，第三部分内容：自主检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　　)

(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．(　　)

(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．(　　)

2.  从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)

A．α＞β　　B．α＝β

C．α＋β＝90°  D．α＋β＝180°

3.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是(　　)

A．50 n mile  B．70 n mile

C．90 n mile  D．110 n mile

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余弦定理正弦定理PPT，第四部分内容：讲练互动

测量距离问题

海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．

测量距离问题的解题思路

求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．　 

2．如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离．

测量高度问题

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

测量高度问题的解题思路

高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．　 

测量角度问题

岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．

(1)问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？

(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．

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余弦定理正弦定理PPT，第五部分内容：达标反馈

1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　)

A．东偏北45°10′方向上  B．东偏北45°50′方向上

C．南偏西44°50′方向上  D．西偏南45°50′方向上

2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于(　　)

A．1002米  B．50(3＋1)米

C．100(3＋1)米  D．200米

3．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v＝(　　)

A．60  B．80

C．100  D．125

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第四课时余弦定理、正弦定理应用举例) 第一部分内容：内容标准 1.了解实际测量中专用名词与术语． 2.熟练掌握正、余弦定理． 3.能用余弦..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第三课时正弦定理和余弦定理的综合应用) 第一部分内容：内容标准 1.掌握三角形的面积公式及其应用． 2.熟练掌握利用正、余弦定理判断三角..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第二课时正弦定理) 第一部分内容：内容标准 1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形..

《余弦定理、正弦定理》平面向量及其应用PPT(第4课时三角形中的几何计算)

第一部分内容：学习目标

掌握三角形的面积公式的简单推导和应用

能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题

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余弦定理正弦定理PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P53 T10和P54 T18两个题目，思考以下问题：

如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？

三角形的面积公式

(1)S＝12a•ha＝12b•hb＝12c•hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高)．

(2)S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.

(3)S＝12(a＋b＋c)•r(r为△ABC内切圆的半径)．

名师点拨 

三角形的面积公式S＝12absin C与原来的面积公式S＝12a•h(h为a边上的高)的关系为h＝bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高．

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余弦定理正弦定理PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．(　　)

(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．(　　)

(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．(　　)

2.  在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为(　　)

A.12　　B.32

C.3        D.23

3.  已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则A＝(　　)

A．30°  B．60°

C．30°或150°  D．60°或120°

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余弦定理正弦定理PPT，第四部分内容：讲练互动

与三角形面积有关的计算问题

例1 (1)(2019•湖南娄底重点中学期末)在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于(　　)

A．9　　　B．18

C．93  D．183

(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝π3，且S△ABC＝3，则a＝________，b＝________．　

三角形面积计算的解题思路

对于此类问题，一般用公式S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B进行求解，可分为以下两种情况：

(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．

(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．　 

三角形中的线段长度和角度的计算

例2 已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.

(1)求C和BD；

(2)求四边形ABCD的面积．

三角形中几何计算问题的解题思路

(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．

(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．　 

... ... ...

余弦定理正弦定理PPT，第五部分内容：达标反馈

1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的长为(　　)

A．3　　B．3

C．7      D．7

2．已知△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.b＝2，∠B＝π6，∠C＝π4，则△ABC的面积为(　　)

A．2＋23  B．3＋1

C．23－2  D．3－1

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝3，b＝1，C＝120°.

(1)求B的大小；

(2)求△ABC的面积S.

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第四课时余弦定理、正弦定理应用举例) 第一部分内容：内容标准 1.了解实际测量中专用名词与术语． 2.熟练掌握正、余弦定理． 3.能用余弦..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第三课时正弦定理和余弦定理的综合应用) 第一部分内容：内容标准 1.掌握三角形的面积公式及其应用． 2.熟练掌握利用正、余弦定理判断三角..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第二课时正弦定理) 第一部分内容：内容标准 1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形..

《章末复习提升课》平面向量及其应用PPT

第一部分内容：综合提高

平面向量的线性运算

(1)(2018•高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝(　　)

A.34AB→－14AC→　B.14AB→－34AC→

C.34AB→＋14AC→  D.14AB→＋34AC→

(2)如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC→＝λAM→＋μBD→，则λ＋μ＝(　　)

A.43  B.53

C.158  D.2

向量线性运算的基本原则

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．平面向量数量积的运算

如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE→•BE→的最小值为(　　)

A.2116  B.32

C.2516  D.3

向量数量积的两种计算方法

(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a•b＝|a||b|cos θ.

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a•b＝x1x2＋y1y2.　 

... ... ...

章末复习提升课PPT，第二部分内容：素养提升

1．(2019•高考全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→•BC→＝(　　)

A．－3　  B．－2

C．2  D．3

2．已知e1，e2是单位向量，m＝e1＋2e2，n＝5e1－4e2，若m⊥n，则e1与e2的夹角为(　　)

A.π4  B.π3

C.2π3  D.3π4

3．在△ABC中，A＝π3，BC＝6，AB＝26，则C＝(　　)

A.π4或3π4  B.π6或5π6

C.π4  D.3π4

4．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3 PD→，AP→•BP→＝2，则AB→•AD→的值是________．

5．在△ABC中，a＝3，b＝26，B＝2A.

(1)求cos A的值；

(2)求c的值．

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《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第四课时余弦定理、正弦定理应用举例) 第一部分内容：内容标准 1.了解实际测量中专用名词与术语． 2.熟练掌握正、余弦定理． 3.能用余弦..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第三课时正弦定理和余弦定理的综合应用) 第一部分内容：内容标准 1.掌握三角形的面积公式及其应用． 2.熟练掌握利用正、余弦定理判断三角..

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第二课时正弦定理) 第一部分内容：内容标准 1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形..