了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理
会用勾股定理进行简单计算，培养严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值。
自主探究 感悟新知
1.在图1(2)中，∆ ABC是直角三角形，∠ ACB=90° 。
（1）如果每个小方格子都是边长为1的正方形,那么Rt ∆ABC的三边AC,BC,AB的长各是多少?以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积各是多少？这些面积之间具有怎样的等量关系？
（2）如果这个直角三角形的三边长分别是a，b，c，那么可以怎样用a，b，c把图中三个正方形面积之间的关系表示出来呢？
2.图2（1）是用大小相同的两种颜色的正方形瓷砖铺成的地面。
（1）图2（1）中用白色框标出的三个正方形，他们的面积之间具有怎样的等量关系？
（2）根据图2（2），你能说出正方形面积之间的等量关系反映了Rt ∆ABC三边之间怎样的关系吗？把它写出来。
... ... ...
验证实验 发现规律
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
（毕氏证法）
如图，有8张同样的直角三角形纸片，设直角边分别为a和b，斜边为c；有两个边长为（a+b）的正方形。现在我把其中的4个直角三角形纸片摆在第一个图内；把另外的4个直角三角形纸片摆在第二个图内。请同学们观察两个图形中的Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ三个小正方形的面积之间有什么关系？说说你的发现。
... ... ...
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 a2+b2=c2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
... ... ...
一 填空题
1) 在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为c，则c2=____
2) 在RT△ABC中∠C=90°,
⑴若a=4,b=3,则c=____
⑵若c=13,b=5,则a=____
3) 在直角三角形中,如果有两边 为3,4, 那么另一边为_________
⑵如图，在RT△ABC中，∠C=90°,
∠B=45°,AC=1,则AB=( )
A2, B1, C√2, D√3
... ... ...
例1 如图5—2，从电线杆OA的顶端A点，扯一根钢丝绳固定在地面上的B点，这根钢丝绳的长度是多少？
分析：连接OB,OB与OA垂直,得直角三角形，在此直角三角形中，已知两直角边求斜边，应该用勾股定理.
解 如图,在Rt△AOB中，∠O=90°,
AO=8米 ,BO=6米,
由勾股定理，得
AB2=AO2+BO2
=82+62=100
于是 AB=√100 =10
所以，钢丝绳的长度为100米.
... ... ...
谈谈你的收获！
1.这节课你的收获是什么？
2.理解“勾股定理”应该注意什么问题？
3.你觉得“勾股定理”有用吗？
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。
只有不断的思考，才会有新的发现；只有量的变化，才会有质的进步。
其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边,我们的眼前, 还有很多象“勾股定理”那样的知识等待我们去探索，等待我们去发现……
... ... ...
作业快餐：
1.完成课本习题1、2、3（必做）
2.课后小实验：如图,分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆,这三个半圆的面积之间有什么关系?为什么? （必做）
3.做一棵奇妙的勾股树（选做）
《勾股定理》PPT课件9 看一看 毕达哥拉斯是2005年前古希腊著名的数学家，一天发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了等腰直角三角形三边的某种数量关系 A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB..
《勾股定理》PPT课件8 学习目标 1、知识与技能 掌握勾股定理反映的数量关系；会用拼图法、面积法证明勾股定理；在生活实践中学会使用勾股定理。 2、过程与方法 通过观察猜想归纳验证..
《勾股定理的逆定理》PPT课件3 一.知识连接: 问题1. 你能说出直角三角形有哪些特点吗? (1)有一个角是直角: (2)30度所对直角边等于斜边的一半; (3)勾股定理:两直角边的平方和等于斜边..
发布于：2020-08-10 11:58:19
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八年级下册
经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想，获得数学活动的经验；
掌握勾股定理，会用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题；
尝试用多种办法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性。
（毕氏证法）
如图，有8张同样的直角三角形纸片，设直角边分别为a和b，斜边为c；有两个边长为（a+b）的正方形。现在我把其中的4个直角三角形纸片摆在第一个图内；把另外的4个直角三角形纸片摆在第二个图内。请同学们观察两个图形中的Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ三个小正方形的面积之间有什么关系？说说你的发现。
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直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边平方。
用数学式子表示：c2=a2+b2
例1 如图，电线杆AC的高为8m,从电线杆CA的顶端A处扯一根钢丝绳，将另一端固定在地面上的B点，测得BC的长为6m.钢丝绳AB的长度是多少？
解 在Rt△ABC中，∠C=90°,
AC=8 ,BC=6,
由勾股定理，得
AB2=AC2+BC2
=82+62=100
于是 AB=√100=10
所以，钢丝绳的长度为100米.
例2 小丁的妈妈买了一部34英寸（86厘米）的电视机。小丁量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有70厘米长和50厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
解：∵702+502=7400
862=7396
荧屏对角线大约为86厘米
∴售货员没搞错
... ... ...
1）本节课我们学习了什么?
2）利用勾股定理，已知直角三角形的某两边长，会根据条件求另一边
3）了解用面积法证明勾股定理
《勾股定理》PPT课件9 看一看 毕达哥拉斯是2005年前古希腊著名的数学家，一天发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了等腰直角三角形三边的某种数量关系 A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB..
《勾股定理》PPT课件8 学习目标 1、知识与技能 掌握勾股定理反映的数量关系；会用拼图法、面积法证明勾股定理；在生活实践中学会使用勾股定理。 2、过程与方法 通过观察猜想归纳验证..
《勾股定理的逆定理》PPT课件3 一.知识连接: 问题1. 你能说出直角三角形有哪些特点吗? (1)有一个角是直角: (2)30度所对直角边等于斜边的一半; (3)勾股定理:两直角边的平方和等于斜边..
发布于：2020-08-10 10:49:43
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学习目标：
1．理解勾股定理的逆定理，经历“观察－测量－猜想－论证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想；
2．了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题．
学习重点：
探索并证明勾股定理的逆定理.
问题1 回忆勾股定理的内容．
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
... ... ...
精确验证 提出猜想
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
... ... ...
演绎推理 形成定理
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直 角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；
（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a=√41，b=4，c=5．
分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
... ... ...
阶段小结 适时梳理
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
勾股定理的逆命题：
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
... ... ...
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．真命题．
... ... ...
课堂小结
（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？
（2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗？
（3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？
《勾股定理的逆定理》PPT课件3 一.知识连接: 问题1. 你能说出直角三角形有哪些特点吗? (1)有一个角是直角: (2)30度所对直角边等于斜边的一半; (3)勾股定理:两直角边的平方和等于斜边..
《勾股定理的逆定理》PPT课件2 温故知新 1、用文字语言说出勾股定理。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、说出它的逆命题，并判断它的逆命题是真命题还是假命题？ 如果..
《勾股定理的逆定理》PPT课件 温故知新 1、用文字语言说出勾股定理。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、说出它的逆命题，并判断它的逆命题是真命题还是假命题？ 如果三..
发布于：2020-05-03 11:05:08
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1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）
A：3、4、3 ；B：3、4、5；C：3、4、6；D：6、8、10
2.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下：A：____ B：____ C：____ D:____
3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状.
A：______ B：_______ C：______ D______
4.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
A：_____ B：_____ C：_____ D：______
5.猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
你的猜想是_____________。
... ... ...
三角形的三边长a、b、c满足：a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。
已知：△ABC中，AB=c BC=a CA=b
且a2+b2=c2
在很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道 这个三角形是什么形状吗？并说明理由.
解:这个三角形是直角三角形.
理由:设两个结的距离为a,则三边分别为3a,4a,5a.
∵(3a)²+(4a)²=(5a)²
∴三角形是直角三角形
... ... ...
如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足
a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
判定△ABC的形状.
这个三角形是直角三角形．
《勾股定理的逆定理》PPT课件3 一.知识连接: 问题1. 你能说出直角三角形有哪些特点吗? (1)有一个角是直角: (2)30度所对直角边等于斜边的一半; (3)勾股定理:两直角边的平方和等于斜边..
《勾股定理的逆定理》PPT课件2 温故知新 1、用文字语言说出勾股定理。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、说出它的逆命题，并判断它的逆命题是真命题还是假命题？ 如果..
《勾股定理的逆定理》PPT课件 温故知新 1、用文字语言说出勾股定理。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、说出它的逆命题，并判断它的逆命题是真命题还是假命题？ 如果三..
发布于：2020-05-03 11:05:08
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直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90º
∴ BC2+AC2=AB2
一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上,AC长8m.
⑴中如果梯子的顶端A下滑2m,那么它的底端B滑动多少米?
(2)(有人说,在滑动过程中,梯子的底端滑动的距离和顶端滑动的距离总是一样,你赞同吗?
《九章算术》中的折竹问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”
题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根6尺，试问折断处离地面多高？
... ... ...
(1) 如图是一个棱长为10cm的正方体盒子，小明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长能放入多长的铅笔？
(2) 在图中，如果在正方体箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？
如图：A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受到台风影响的区域。
（1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城受到这次台风影响有多长时间？
... ... ...
点滴收获 如数家珍
勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。
在直角三角形中,①已知任意两边就可以依据勾股定理求第三边的长②已知一边和两边关系，求两边长。
考虑问题要全面，建立数学模型要准确
《勾股定理的应用》勾股定理PPT课件2 复习： （1）勾股定理的内容： （2）勾股定理的应用： ①已知两边求第三边； ②已知一边和一锐角（30、60、45的特殊角），求其余边长； ③已知一..
《勾股定理的应用》勾股定理PPT课件 课堂练习： 一判断题. 1.ABC的两边AB=5AC=12则BC=13 ( ) 2.ABC的a=6b=8则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中C=90 (1)若c=10a:b=3:4则a=____b=___. (2)..
发布于：2020-05-03 11:05:08
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1、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股定理的探究方法及其内在联系.
2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
探究勾股定理
（1）在图中，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是____个单位面积.
正方形C的面积是____个单位面积.
（2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图2呢？
... ... ...
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a²+b²=c²
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
1、（2010·义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是_______．(写出一组即可)
【解析】只要是勾股数即可.
答案：3、4、5（满足题意的均可）
2、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米.这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
【解析】在Rt△ABC中，
BC²=5²-3²=16
∵BC＞0
∴BC=4
答：飞机飞过的距离是4千米.
3.求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积.
【解析】设另一条直角边长是x厘米.由勾股定理得:
152+ x2 =172而x2=172-152=289–225=64
所以 x=±8（负值舍去）
所以另一直角边长为8厘米
直角三角形的面积是: 1/2×8×15=60
... ... ...
通过本课时的学习，需要我们掌握：
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²
《勾股定理》PPT课件9 看一看 毕达哥拉斯是2005年前古希腊著名的数学家，一天发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了等腰直角三角形三边的某种数量关系 A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB..
《勾股定理》PPT课件8 学习目标 1、知识与技能 掌握勾股定理反映的数量关系；会用拼图法、面积法证明勾股定理；在生活实践中学会使用勾股定理。 2、过程与方法 通过观察猜想归纳验证..
《勾股定理的逆定理》PPT课件3 一.知识连接: 问题1. 你能说出直角三角形有哪些特点吗? (1)有一个角是直角: (2)30度所对直角边等于斜边的一半; (3)勾股定理:两直角边的平方和等于斜边..
发布于：2020-05-03 11:05:08
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对于等腰直角三角形有这样的性质：两直边的平方和等于斜边的平方.
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
请大家画一个任意的直角三角形，量一量，算一算。
命题１：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
... ... ...
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长
分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则ａ2 +b2 =c2
常用的勾股数：3，4，5；
6，8，10；
5，12，13；
7，24，25。
... ... ...
勾股定理的各种表达式：
在RT△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的对边分别为a 、b 、c ,则:
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米。这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
一 填空题：
1) 在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为c，则c2=____
2) 在RT△ABC中∠C=90°,
⑴若a=4,b=3,则c=____
⑵若c=13,b=5,则a=____
⑶ 若 c=17,a=8,则b=____
(3)等边三角形的边长为12，则它的高为______
(4) 在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另一边为_________
... ... ...
1）本节课我们学习了什么?勾股定理
2）利用勾股定理，已知直角三角形的某两边长，会根据条件求另一边
3）了解用面积法证明勾股定理
《勾股定理》PPT课件9 看一看 毕达哥拉斯是2005年前古希腊著名的数学家，一天发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了等腰直角三角形三边的某种数量关系 A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB..
《勾股定理》PPT课件8 学习目标 1、知识与技能 掌握勾股定理反映的数量关系；会用拼图法、面积法证明勾股定理；在生活实践中学会使用勾股定理。 2、过程与方法 通过观察猜想归纳验证..
《勾股定理的逆定理》PPT课件3 一.知识连接: 问题1. 你能说出直角三角形有哪些特点吗? (1)有一个角是直角: (2)30度所对直角边等于斜边的一半; (3)勾股定理:两直角边的平方和等于斜边..
发布于：2020-05-03 11:05:08
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你知道吗？
1、你知道勾股定理的内容吗？
2、一个三角形的三条边分别为a、b、c（c>a，b），如何判断是否直角三角形？
今早7：00，我从家出发，以100米/分的速度向西走5分钟，又以120米/分的速度向南走10分钟， 到达学校。
1、早上老师共走了多少路程？
500+ 1200=1700(米)
2、家到学校的距离是多少？
一个圆柱形易拉罐，下底面的A点有一只蚂蚁，上底面上与A点相对的B点处有粒糖，蚂蚁想吃到B点处的糖。
（1）蚂蚁从A点爬到B点可能有哪些路线？
（2）路线① 、② 、③中最短路线是什么？
... ... ...
我想检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，随身只带了一把卷尺，
（1）你有办法吗？
（2）量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米。AD边垂直于AB边吗？
（3）若随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
《蚂蚁怎样走最近》勾股定理PPT课件 问题情境 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂..
发布于：2020-05-03 11:00:57
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八年级上册
在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
... ... ...
1．如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC²+AC²=AB²
即5²+ x²= (x+1)²
25+ x²= x²+2 x+1，
2x=24，
∴ x=12， x+1=13
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
《蚂蚁怎样走最近》勾股定理PPT课件2 你知道吗？ 1、你知道勾股定理的内容吗？ 2、一个三角形的三条边分别为a、b、c（ca，b），如何判断是否直角三角形？ 今早7：00，我从家出发，以1..
发布于：2020-05-03 11:00:57
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问题1 在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？
答：在一个直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方
问题2 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
回答这样两个问题:
1.这三组数都满足 a²+b²=c²吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形.
满足a²+b²=c²的三个正整数,称为勾股数.
... ... ...
1.下列几组数据能否作为直角三角形的三边？
（1）9，12，15; （2）15，36，39;
（3）12，35，36 ; （4）12，18，22.
2.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,
25cm，则这个三角形的面积是（ ）cm² .
(A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，
AD=12，AC=20，则△ABC是（ ）.
(A)等腰三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)直角三角形
4.将直角三角形的三边同时扩大相同的倍数
后，得到的三角形是（ ）.
(A)直角三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)不能确定
《能得到直角三角形吗》勾股定理PPT课件2 古埃及人曾用下面的方法得到直角： 他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别..
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发布于：2020-05-03 11:00:56
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