《相似三角形》相似PPT课件

1.相似图形

定义：具有相同形状的图形称为相似图形.

2.比例线段

定义：在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即ab=cd（或a∶b=c∶d），那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.

注意：（1）线段a、b、c、d成比例是有顺序的，表示ab=cd（或a∶b=c∶d）；

3.比例线段的性质

性质：（1）基本性质：如果a∶b=c∶d或ab=cd，那么ad=bc；特别地，如果a∶b=b∶c或ab=bc，那么b2=ac.

（2）合比性质：如果ab=cd，那么a±bb=c±dd.

4.相似多边形

定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.

注意：仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应角相等的两个多边形也不一定相似，如矩形.

相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.

... ... ...

5.相似三角形

定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似;

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似;

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似;

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似;

（5）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应的比相等，那么这两个直角三角形相似.

注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼此相似.

... ... ...

［2010·珠海］如图38-1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

(1)求证：△ADF∽△DEC；

(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.

【解析】（1）证明∠AFD=∠C，∠ADF=∠CED；

（2）由△ADF∽△DEC,得ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求，容易求出FA.

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°.

∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC.

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，CD=AB=4.

又∵AE⊥BC，∴ AE⊥AD.

在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2 =（33）2+32=6.

∵△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFCD，∴336=AF4，

∴AF= 23.

... ... ...

【点悟】证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例式，然后根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立；若不相似，再用中间比来“搭桥”.

《相似三角形的性质》PPT课件3 情境引入： 已知： ABC∽A'B'C'，根据相似的定义，我们有哪些结论？ 从对应边上看： __________________ 从对应角上看：___________________ 两个三角..

《相似三角形的性质》PPT课件2 1．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于________． 2．相似三角形周长的比等于________． 3．相似三角形面积的比等于______..

《相似三角形的判定》PPT课件3 1．三条边对应成比例的两个三角形________，利用这个判断方法证明两个三角形相似时，注意对应关系，一般来说，相等角的对边是________边． 2．直角三角..

回顾与反思

判定两个三角形相似的方法：

1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似.

3.三边对应成比例的两个三角形相似。

4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

5. 两角对应相等的两个三角形相似。

相似三角形的性质：

1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2 .相似三角形对应高线比，对应中线比，对应角平分线比等于相似比。

3.相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

... ... ...

当∠BCF＝ ∠A 时，SBCF∽ SBAC.

(1) 若BC=6,AF=5,你能求出BF的长吗?

(2) BC是圆O的切线，切点为C.

(3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能得到哪些结论?

（1）请在x轴上找一点D，使得SBDA与SBAC相似（不包含全等），并求出点D的坐标；

（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m，

 问：是否存在这样的m，使得SBPQ与SBDA相似？如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

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如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：

（1） △ABE 与△ECF 是否相似？并证明你的结论。

（2）若E为BC的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？

实战演练 知识运用

变式：.直角梯形ABCF中,∠B＝90°,CB=14，CF=4, AB=6, CF∥AB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似，则CE=_______

1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8,则EF=______

2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,则AF=_______

《相似三角形的性质》PPT课件3 情境引入： 已知： ABC∽A'B'C'，根据相似的定义，我们有哪些结论？ 从对应边上看： __________________ 从对应角上看：___________________ 两个三角..

《相似三角形的性质》PPT课件2 1．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于________． 2．相似三角形周长的比等于________． 3．相似三角形面积的比等于______..

《相似三角形的判定》PPT课件3 1．三条边对应成比例的两个三角形________，利用这个判断方法证明两个三角形相似时，注意对应关系，一般来说，相等角的对边是________边． 2．直角三角..

相似三角形

对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 

AB : A1B1 =BC : B1C1 =CD : C1D1= k时，

则△ABC 与△A1B1C1 的相似比为 k .

或△A1B1C1 与△ABC 的相似比为1/k .

知识与能力

理解相似三角形的判定方法．

过程与方法

以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法．

情感态度与价值观

培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值．

教学重难点

会应用相似三角形的两个判定方法。

怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。

抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点。

... ... ...

已知：DE//BC，且D是边AB的中点，DE交AC于E .

猜想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。

证明:∵ DE // BC

∴∠1 =∠B，∠2 =∠C

且 ∠A= ∠A

∴ △ADE与△ABC的对应角相等

... ... ...

平行于三角形一边的定理

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

判定三角形相似的定理之一

三边对应成比例，两三角形相似。

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

判定三角形相似的定理之二

两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定三角形相似的定理之三

两角对应相等，两三角形相似。

如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定三角形相似的定理之四

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。

... ... ...

1. 相似图形三角形的判定方法：

通过定义（三边对应成比例，三角相等）

平行于三角形一边的直线

三边对应成比例

两边对应成比例且夹角相等

两角对应相等

两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例

2. 相似三角形的性质：

对应角相等。

对应边成比例。

对应高的比等于相似比。

对应中线的比等于相似比。

对应角平分线的比等于相似比。

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1.判断下列说法是否正确？并说明理由。

（1）所有的等腰三角形都相似。

（2）所有的等腰直角三角形都相似。

（3）所有的等边三角形都相似。

（4）所有的直角三角形都相似。

（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。

（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。

（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。

（8）相似的两个三角形一定大小不等。

2.AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？

3.下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？

4.过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？

《相似三角形的性质》PPT课件3 情境引入： 已知： ABC∽A'B'C'，根据相似的定义，我们有哪些结论？ 从对应边上看： __________________ 从对应角上看：___________________ 两个三角..

《相似三角形的性质》PPT课件2 1．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于________． 2．相似三角形周长的比等于________． 3．相似三角形面积的比等于______..

《相似三角形的判定》PPT课件3 1．三条边对应成比例的两个三角形________，利用这个判断方法证明两个三角形相似时，注意对应关系，一般来说，相等角的对边是________边． 2．直角三角..

解决下列问题.

1.线段的比例式和黄金分割等概念，用比例的有关性质解决简单问题为此设计了［限时集训］中的第1，2，7题.

2.图形的相似，相似三角形的判定条件此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1；［限时集训］中的第4，8，9，11，15题.

3.相似多边形，相似三角形的判定与性质此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例2（包括预测变形1，2，3，4）；［限时集训］中的第3，5，10，12，14题.

4.解决与相似三角形有关的综合问题此内容为本课时的难点.为此设计了［归类探究］中的例3；［限时集训］中的第6，13题.

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1.相似图形

定义：具有相同形状的图形称为相似图形.

2.比例线段

定义：在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即ab=cd（或a∶b=c∶d），那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.

注意：（1）线段a、b、c、d成比例是有顺序的，表示ab=cd（或a∶b=c∶d）；

3.比例线段的性质

性质：（1）基本性质：如果a∶b=c∶d或ab=cd，那么ad=bc；特别地，如果a∶b=b∶c或ab=bc，那么b2=ac.

（2）合比性质：如果ab=cd，那么a±bb=c±dd.

4.相似多边形

定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.

注意：仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应角相等的两个多边形也不一定相似，如矩形.

相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.

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相似三角形

定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似;

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似;

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似;

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似;

（5）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应的比相等，那么这两个直角三角形相似.

注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼此相似.

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（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.

注意：利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时，要注意对应关系。

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相似三角形的判定

如图38-1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

(1)求证：△ADF∽△DEC；

(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.

【解析】（1）证明∠AFD=∠C，∠ADF=∠CED；（2）由△ADF∽△DEC,得ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求，容易求出FA.

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°.

∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC.

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，CD=AB=4.

又∵AE⊥BC，∴ AE⊥AD.

在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2 =（33）2+32=6.

∵△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFCD，∴336=AF4，

∴AF= 23.

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一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为22.5 cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图38-4所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（  ）

A.第4张  B.第5张   C.第6张   D.第7张

【解析】设第n个矩形是正方形，

则n个矩形的高为3n，

∴22.5-3n22.5=315,解得n=6,选C.

电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2 m，CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则P到AB的距离是（  ）

A.56 m   B.67 m    C.65 m   D.103 m

【解析】设P列AB的距离为x，则有x3=25

,∴x=65,选C.

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《相似三角形的性质》PPT课件2 1．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于________． 2．相似三角形周长的比等于________． 3．相似三角形面积的比等于______..

《相似三角形的判定》PPT课件3 1．三条边对应成比例的两个三角形________，利用这个判断方法证明两个三角形相似时，注意对应关系，一般来说，相等角的对边是________边． 2．直角三角..

学习目标：

1、掌握相似三角形的定义，并应用它判断两个三角形是否相似。

2、掌握相似三角形的性质，并应用性质解决一些相似三角形的问题。

3、学会应用新知识解决实际问题的方法。

回答问题：

1、什么叫相似多边形呢？

2、你能类似的给相似三角形下一个定义吗？

3、什么叫相似比？

... ... ...

1、各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相似多边形

2、三个角对应相等，三条边边对应成比例的两个三角形  叫相似三角形

相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或相似系数）。 

小组讨论，领悟新知

１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？

２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？

３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？

... ... ...

动动手，练一练

如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中  一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边 长5cm，其他两边的长度都是3.5cm。求该草坪 其他两边的实际长度。

解：设其他两边的实际长度都是x cm，              

x/3.5=2000/5

解得：x=1400cm

1400cm=14m

所以，草坪其他两边的实际长度都是14m

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随堂练习，巩固新知

1、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x , y , m , n 的值。 

2、如图，已知△ ABC∽ △ADE，AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°.

(1)求∠AED和∠ADE的大小；

(2)求DE的长。

解：（1）因为△ ABC∽ △ADE  所以： ∠AED=∠ACB=40°

在△ADE中，∠ADE+ ∠AED+ ∠A=180°

即： ∠ADE+ 40° + 45° =180°

所以 ∠ADE=95°

... ... ...

1、若△ABC～△ A`B`C`,△A`B`C` ～△A”B”C”,则 △ABC ～ △A”B”C”

2、△ABC 的各边之比是2：5：6，与其相似的另一个△ A’B’C’的最大边为18cm，那么它的最小边长是多少？

3、已知△AOB～△ DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°∠AOB=72°，求AB，OC与∠C的度数

4、已知△ABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的三角形的最大边是15，求这个相似三角形的周长。

《相似三角形的性质》PPT课件3 情境引入： 已知： ABC∽A'B'C'，根据相似的定义，我们有哪些结论？ 从对应边上看： __________________ 从对应角上看：___________________ 两个三角..

《相似三角形的性质》PPT课件2 1．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于________． 2．相似三角形周长的比等于________． 3．相似三角形面积的比等于______..

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知识点、考点回顾：

一、比例：

1、比例：如果a:b与c:d的比值相等，我们就说这四个数a,b,c,d成比例，写成比例式a:b=c:d。

2、第四比例项：若a/b=c/d，则d叫a、b、c的第四比例项.

3、比例中项：若a/b=c/d=bc，则b叫a、c的比例中项.

二、比例的性质 

比例的基本性质：a/b=c/d   ad=bc(b≠0，d≠0)；a/b=b/c --- b2=ac

1、线段的比：选用同一长度单位的两条线段的长度的比。

2、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段 叫做成比例线段，简称比例线段.

... ... ...

相似多边形：各角相等，各边对应成比例的两个多边形。（相似的符号是“∽”）对应边的比叫做相似比。

1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形.

2、探索两个三角形相似的条件：

判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似.

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似

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典型例题解析

【例1】(2003·南京市)在比例尺是1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，它的实际长度约为 (  ) 

A.0.266km     B.2.66km

C.26.6km      D.266km 

【例2】设2a-3b=0，则a/b=3/2, a-b/b=1/2

... ... ...

(1)把10厘米的线段进行黄金分割,则较长的线段的长是_______厘米.

(2)把一根2米的钢丝弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长之比成黄金比，则这个矩形的面积是__________.

(3)设P、Q是线段AB上的两个黄金分割点,且PQ=a,则AB=___________.

【例7】 

1、下列命题正确的是  (    )

A.所有的直角三角形都相似

B.所有的等腰三角形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似

D.以上结论都不正确

2.如图所示，在平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有(    )

 A.3对     B.4对

 C.5对     D.6对

... ... ...

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《图形的相似》相似PPT课件2 教学目标 知识与能力 感知相似图形在现实中的应用。 认识形状相同的图形。 了解相似图形的基本内涵。 过程与方法 通过观察、操作，了解相似图形的过程。 ..

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知识与能力

感知相似图形在现实中的应用。

认识形状相同的图形。

了解相似图形的基本内涵。

过程与方法

通过观察、操作，了解相似图形的过程。

进一步了解相似形在实际生活中的应用。

掌握简单的画图方法，在动手操作中认识 相似图形。

... ... ...

两个图形的形状 ________，但图形的大小位置 __________，这样的图形叫做相似图形。

相似图形的关系

两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。

由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形叫做多边形。

相似多边形

根据相似多边形的特征，给相似多边形下定义。

各对应角相等、各对应边成比例的多边形叫做相似多边形.

... ... ...

相似多边形的性质

相似多边形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比。

相似多边形对应对角线的比等于相似比。

相似多边形对应三角形相似，且相似比等于相似多边形的相似比。

相似多边形面积的比等于相似比的平方。

相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方。

... ... ...

题型1  判断两个多边形是否相似

解: ∵ 正方形，菱形的四条边都相等. 

∴ 它们的对应边成比例，k =  3 : 4.

∵ 正方形的四个内角均为直角，而菱形的内角有钝角有锐角.

∴ 它们的对应角不相等.

∴ 这一组图形不相似.

一块长 3m，宽1.5m的矩形黑板，镶其外围的木质边宽7.5cm。边框内外边缘所组成的矩形相似吗?为什么?

解: ∵ 矩形的每个内角都等于90o.

∴ ∠A =∠E = 90°，∠B =∠F  = 90°   

∠C =∠G = 90°，∠D =∠H = 90°

∴ 它们的对应角相等.

∵ EH:AD=300:(300+2×7.5)=20/21.

EF:AB =150:(150+2×7.5)=10/11.

∴ EH:AD≠EF:AB.

∴ 它们的对应边不成比例.

∴ 矩形ABCD和矩形EFGH不相似.

... ... ...

1. 判断：

（1）任意两个矩形都是相似图形（      ） 

（2）任意两个圆形是相似图形（      ） 

（3）对应角相等的两个四边形是相似多边形（      ）

（4）两个正五边形是相似多边形（      ）

（5）两个全等三角形是相似多边形（      ） 

（6）两菱形是相似多边形（      ） 

（7）两个相似多边形，对应边成比例（      ） 

2. 五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，它们的相似比为1 : 3，

（1）若∠D＝135°，则∠D′= ______。 

（2）若A′B′=15cm，则AB= ______。

3.  一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为______ 。  

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1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似，理解相似图形的概念；

2.理解相似图形的性质和判定.

相似多边形的性质:

相似多边形对应角相等,对应边的比相等.

相似多边形的判断方法:

若两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等，则这两个多边形相似.

对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.

... ... ...

1．（德化·中考）下列各组线段（单位：M）中，成比例线段的是（　　）

A.1、2、3、4           B.1、2、2、4 

C.3、5、9、13         D.1、2、2、3

2．（南平·中考）下列说法中，错误的是(       )

A．等边三角形都相似       B．等腰直角三角形都相似

C．矩形都相似                D．正方形都相似

3.（烟台·中考）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边框，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（      ）

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1. 经过这节课的学习，你有哪些收获？

2. 你想进一步探究的问题是什么？

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