《章末复习课》函数PPT

《章末复习课》集合与常用逻辑用语PPT

第一部分内容：提醒探究

集合的并、交、补运算

 【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．

(1)用列举法表示集合A与B；

(2)求A∩B及∁U(A∪B)．

[解]　(1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．

(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}．

集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.

1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝(　　)

A．{1,3,4}

B．{3,4}

C．{3} 

D．{4}

集合关系和运算中的参数问题

【例2】已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．

(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；

(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为A B或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.

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《章末复习课》一元二次函数、方程和不等式PPT

不等式的性质

【例1】如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是(　　)

A．ab＞ac　　B．c(b－a)＞0

C．cb2＜ab2   D．ac(a－c)＜0

C　[c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0.

对于A：b＞ca＞0⇒ab＞ac，A正确．

对于B：b＜a⇒b－a＜0c＜0⇒c•(b－a)＞0，B正确．

对于C：c＜ab2≥0⇒cb2≤ab2 cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．

对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C.]

不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了.

1．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　)

A．ab>ac

B．ac>bc

C．a|b|>c|b|

D．a2>b2>c2

2．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．

基本不等式

【例2】设x<－1，求y＝x＋5x＋2x＋1的最大值．

[解]　∵x<－1，∴x＋1<0.

∴－(x＋1)>0，

∴y＝x＋5x＋2x＋1＝x2＋7x＋10x＋1

＝x＋12＋5x＋1 ＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5

＝－－x＋1＋4－x＋1＋5

≤－24＋5＝1，

当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．]

基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.

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《章末复习课》函数的概念与性质PPT

【例1】(1)求函数y＝5－x＋x－1－1x2－9的定义域．

(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．

1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

求函数的解析式

【例2】(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为______．

(2)已知f1＋xx＝1＋x2x2＋1x，则f(x)的解析式为________．

求函数解析式的题型与相应的解法

1已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.

2已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法.

3含f(x)与f(－x)或f(x)与f(1/x)，使用解方程组法.

4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.

2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.

(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．

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《章末复习课》指数函数与对数函数PPT

指数与对数的运算

【例1】计算：(1)2log32－log3329＋log38－5log53；

(2)1.5－13×－760＋80.25×42＋(32×3)6－－2323.

指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.

1．设3x＝4y＝36，则2x＋1y的值为(　　)

A．6    B．3

C．2    D．1

指数函数、对数函数的图象及应用

【例2】(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(　　)

(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝12x.

①如图，画出函数f(x)的图象；

②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

(1)B　[由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]

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《章末复习课》三角函数PPT

同角三角函数基本关系和诱导公式的应用

【例1】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.

(2)已知f(α)＝sin2π－α•cos2π－α•tan－π＋αsin－π＋α•tan－α＋3π.

①化简f(α)；

②若f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；

③若α＝－47π4，求f(α)的值．

[思路点拨]先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．

1．将本例(2)中“18”改为“－18”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sin α.

[解]　因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，

所以cos α＋sin α＞0，

又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×－18＝34，所以cos α＋sin α＝32.

2．将本例(2)中的用tan α表示1fα＋cos2α.

[解]　1fα＋cos2α＝1sin αcos α＋cos2α

＝sin2α＋cos2αsin αcos α＋cos2α＝tan2α＋1tan α＋1.

1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.

2．诱导公式可概括为k•π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．

三角函数的图象变换问题

【例2】(1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)

A.π2　B.π4

C．0  D．－π4

1．函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法

2．对称变换

(1)y＝f(x)的图象DDDD→关于x轴对称y＝－f(x)的图象．

(2)y＝f(x)的图象DDDD→关于y轴对称y＝f(－x)的图象．

(3)y＝f(x)的图象DDDD→关于0，0对称y＝－f(－x)的图象．

三角函数的性质

【例3】(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)

A.0，π2  B.π2，π

C.π4，π2  D.3π4，π

(2)已知函数f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中a为常数)．

①求f(x)的单调区间；

②若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值．

[思路点拨]　(1)先根据函数f(x)是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．

(2)①由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z求增区间，

由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z求减区间．

②先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值．

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《章末复习课》集合与常用逻辑用语PPT课件

集合的并、交、补运算

【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．

(1)用列举法表示集合A与B；

(2)求A∩B及∁U(A∪B)．

[解](1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．

(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}．

集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.

集合关系和运算中的参数问题

【例2】已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．

(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；

(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.

充分条件与必要条件

【例3】已知a≥12，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤34.

利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.

全称量词与存在量词

【例4】(1)下列语句不是全称量词命题的是(　　)

A．任何一个实数乘以零都等于零

B．自然数都是正整数

C．高一(一)班绝大多数同学是团员

D．每一个实数都有大小

(2)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则(　　)

A．p是假命题； p：∃x∈R，x2＜0

B．p是假命题； p：∃x∈R，x2≤0

C．p是真命题； p：∀x∈R，x2＜0

D．p是真命题； p：∀x∈R，x2≤0

“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系

1一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论px的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.

2与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.

4．下列命题不是存在量词命题的是(　　)

A．有些实数没有平方根

B．能被5整除的数也能被2整除

C．在实数范围内，有些一元二次方程无解

D．有一个m使2－m与|m|－3异号

5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．

存在一个能被7整除的数不是奇数[原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]

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《章末复习课》等式与不等式PPT

一元二次方程根与系数的关系

【例1】　如果关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)

A．k＜2且k≠1　B．k＜2且k≠0

C．k＞2  D．k＜－2

A[∵关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)×1＞0，

解得：k＜2且k≠1，故选A.]

根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k－1≠0且Δ＝－22－4k－1×1＞0.

方程组的解集

【例2】　如果关于x，y的二元一次方程组a1x＋b1y＝－2，a2x－b2y＝4的解为x＝1，y＝2，则方程组a1x＋b1y＝－2＋a1a2x－b2y＝4＋a2的解集为(　　)

A．{(x，y)|(2,1)}  B．{(x，y)|(2,3)}

C．{(x，y)|(2,2)}  D．{(x，y)|(1,2)}

求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.

2．已知某三种图书的价格分别为10元，15元，20元．某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，每种图书至少一本，则不同的购书方案有多少种(　　)

A．10     B．9  C．12  D．11

B　[设购买10元的a本，15元的b本，则20元的(30－a－b)本，

依题意得：10a＋15b＋20(30－a－b)＝500，

整理，得2a＋b＝20.

①当b＝2时，a＝9，

②当b＝4时，a＝8.

③当b＝6时，a＝7.

④当b＝8时，a＝6.

⑤当b＝10时，a＝5.

⑥当b＝12时，a＝4.

⑦当b＝14时，a＝3.

⑧当b＝16时，a＝2.

⑨当b＝18时，a＝1.

则不同的购书方案有9种．

故选B.]

一元二次不等式的解法

【例3】解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.

[解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.

函数y＝x2＋(1－a)x－a的图像开口向上，所以

(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；

(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；

(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．

解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.

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《章末复习课》函数PPT

求函数的定义域

【例1】(1)求函数y＝5－x＋x－1－1x2－9的定义域；

(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．

1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

求函数的解析式

【例2】(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________；

(2)已知f1＋xx＝1＋x2x2＋1x，则f(x)的解析式为________．

求函数解析式的题型与相应的解法

1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.

2已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法.

3含fx与f－x或fx与 ，使用解方程组法.

4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.

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