《立体图形的直观图》立体几何初步PPT

《基本立体图形》立体几何初步PPT(棱柱、棱锥、棱台的结构特征)

第一部分内容：学习目标

理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别

理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别

能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形

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基本立体图形PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P97－P100的内容，思考以下问题：

1．空间几何体的定义是什么？

2．空间几何体分为哪几类？

3．常见的多面体有哪些？

4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？

1．空间几何体的定义及分类

(1)定义：如果只考虑物体的______和______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的____________就叫做空间几何体．

(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．

2．空间几何体

由若干个__________________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个____________叫做多面体的面；两个面的___________叫做多面体的棱；____________的公共点叫做多面体的顶点

一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的__________________旋转所形成的______叫做旋转面，______的旋转面围成的几何体叫做旋转体．_______________叫做旋转体的轴

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基本立体图形PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)棱柱的侧面都是平行四边形．(　　)

(2)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．　(　　)

(3)将棱台的各侧棱延长可交于一点．(　　)

2.  下面多面体中，是棱柱的有(　　)

A．1个　  B．2个

C．3个  D．4个

3.下面四个几何体中，是棱台的是(　　)

解析：选C.A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台． 

4.  在三棱锥A­BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为　(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

5. 下列说法正确的有________．(填序号)

①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；

②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；

③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．

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基本立体图形PPT，第四部分内容：讲练互动

棱柱的结构特征

下列关于棱柱的说法：

①所有的面都是平行四边形；

②每一个面都不会是三角形；

③两底面平行，并且各侧棱也平行；

④被平面截成的两部分可以都是棱柱．

其中正确说法的序号是__________．

棱柱结构特征的辨析技巧

(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．

(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．　 

棱锥、棱台的结构特征

下列关于棱锥、棱台的说法：

①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③棱锥的侧面只能是三角形；

④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中正确说法的序号是________．

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基本立体图形PPT，第五部分内容：达标反馈

1．下面的几何体中是棱柱的有(　　)

A．3个　　　B．4个　　　C．5个　　　D．6个

2．下面图形中，为棱锥的是(　　)

A．①③  B．③④  C．①②④  D．①②

3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　　)

A．四棱柱  B．四棱锥  C．三棱柱  D．三棱锥

4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm.

5．画一个三棱台，再把它分成：

(1)一个三棱柱和另一个多面体．

(2)三个三棱锥，并用字母表示．

《基本立体图形》立体几何初步PPT(第2课时圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征)

第一部分内容：学习目标

理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体

了解简单组合体的概念和基本形式

会根据旋转体的几何体特征进行相关运算

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基本立体图形PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P101－P104的内容，思考以下问题：

1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？

2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？

3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？

1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征

(1)圆柱的结构特征

定义   以_____________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体

图示及相关概念

轴：______________叫做圆柱的轴

底面：_____________的边旋转而成的圆面

侧面：_____________的边旋转而成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，______________的边

柱体：______________统称为柱体

名师点拨 

(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．

(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．

(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．

(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．

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基本立体图形PPT，第三部分内容：自我检测

1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(　　)

(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(　　)

(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(　　)

(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．(　　)

2.  下列几何体中不是旋转体的是(　　)

解析：选D.由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．

3.  过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是(　　)

A．直角三角形　　B．等腰三角形

C．等边三角形      D．等腰直角三角形

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基本立体图形PPT，第四部分内容：讲练互动

圆柱、圆锥、圆台、球的概念

(1)给出下列说法：

①圆柱的底面是圆面；

②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；

④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．

其中说法正确的是________．

(2)给出以下说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；

②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；

③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；

④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．

其中正确说法的序号是________．

(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线．

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．　 

判断下列各命题是否正确．

(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．

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基本立体图形PPT，第五部分内容：达标反馈

1．如图所示的图形中有(　　)

A．圆柱、圆锥、圆台和球　　B．圆柱、球和圆锥

C．球、圆柱和圆台  D．棱柱、棱锥、圆锥和球

2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是(　　)

A．圆锥  B．圆柱

C．球  D．棱柱

3．下列说法中正确的是________．

①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；

②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；

③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．

4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高h为________cm.

5．如图所示，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？

《立体图形的直观图》立体几何初步PPT

第一部分内容：学习目标

会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图

会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图

会根据斜二测画法规则进行相关运算

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立体图形的直观图PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P107－P111的内容，思考以下问题：

1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？

2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？

3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝______ (或______)，它们确定的平面表示____________．

(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于______或______的线段．

(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中________________________，平行于y轴的线段，长度为原来的______．

2．空间几何体直观图的画法

(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．

(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．

(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．

(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为______.  

名师点拨 

(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．

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立体图形的直观图PPT，第三部分内容：自我检测

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)

(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．(　　)

(3)相等的角在直观图中仍相等．(　　)

根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(　　)

A．90°，90°　　B．45°，90°

C．135°，90°    D．45°或135°，90°

下列关于直观图的说法不正确的是(　　)

A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变

B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变

C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°

D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同

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立体图形的直观图PPT，第四部分内容：讲练互动

画水平放置的平面图形的直观图

画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．

【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．

(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.

(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.

画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．

(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．　 

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立体图形的直观图PPT，第五部分内容：达标反馈

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　)

A．原来相交的仍相交　　B．原来垂直的仍垂直

C．原来平行的仍平行      D．原来共点的仍共点

2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的(　　)

解析：选C.由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴，故选C.

3．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为(　　)

A．2S  B.2S

C．22S  D.3S

4．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)

A．平行于z′轴且大小为10 cm

B．平行于z′轴且大小为5 cm

C．与z′轴成45°且大小为10 cm

D．与z′轴成45°且大小为5 cm

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT课件(平面与平面垂直) 第一部分内容：内容标准 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小． 2.了解面面垂..

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT课件(直线与平面垂直) 第一部分内容：内容标准 1.理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理． 2.能应用线面垂直判..

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT课件(直线与直线垂直) 第一部分内容：内容标准 1.会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直..

《简单几何体的表面积与体积》立体几何初步PPT(柱、锥、台的表面积和体积)

第一部分内容：学习目标

了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积

能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系

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简单几何体的表面积与体积PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P114－P117的内容，思考以下问题：

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？

4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？

5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是___________________________的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_________________________的面积的和．

2．棱柱、棱锥、棱台的体积

(1)V棱柱＝_______；(2)V棱锥＝_______；

V棱台＝_____________________，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．

3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

1．柱体、锥体、台体的体积

(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13Sh.

(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，

则V＝13S′＋SS′＋Sh.

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系

S圆柱侧＝2πrl←D→r′＝rS圆台侧＝π(r′＋r)l←D→r′＝0S圆锥侧＝πrl.

3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

V柱体＝Sh←D→S′＝SV台体＝13(S′＋S′S＋S)h←D→S′＝0V锥体＝13Sh.

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简单几何体的表面积与体积PPT，第三部分内容：自我检测

1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．(　　)

(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．(　　)

(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．(　　)

(4)在三棱锥P­ABC中，VP­ABC＝VA­PBC＝VB­PAC＝VC­PAB.(　　)

2.  棱长都是 1 的三棱锥的表面积为(　　)

A.3　　　B．23　　　C．33　　　D．43　　　

3.  若长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为(　　)

A．27 cm3  B．60 cm3  C．64 cm3  D．125 cm3

4.  圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于(　　)

A．72        B．42π     C．67π     D．72π

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简单几何体的表面积与体积PPT，第四部分内容：讲练互动

柱、锥、台的表面积

例1 (1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的(　　)

A.2倍　　 B．3 倍

C．2 倍  D．5 倍

(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为(　　)

A．1∶2  B．1∶3

C．2∶2  D．3∶6

(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)

A．7　　   B．6

C．5  D．3

空间几何体表面积的求法技巧

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．

(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

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简单几何体的表面积与体积PPT，第五部分内容：达标反馈

1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　)

A．22　　B．20

C．10  D．11

2．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为(　　)

A.274  B.94

C.2734  D.934

3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．

解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，

则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1＝π(3x＋4x)l＝7πxl，下台体侧面积S2＝π(4x＋5x)l＝9πxl，所以S1∶S2＝7∶9.

4.如图，三棱台ABCMA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1MABC，三棱锥BMA1B1C，三棱锥CMA1B1C1的体积之比．

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT课件(平面与平面垂直) 第一部分内容：内容标准 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小． 2.了解面面垂..

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT课件(直线与平面垂直) 第一部分内容：内容标准 1.理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理． 2.能应用线面垂直判..

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT课件(直线与直线垂直) 第一部分内容：内容标准 1.会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直..

《简单几何体的表面积与体积》立体几何初步PPT(球的体积和表面积)

第一部分内容：学习目标

记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积

能解决与球有关的组合体的计算问题

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简单几何体的表面积与体积PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材 P117－P119 的内容，思考以下问题：

1．球的表面积公式是什么？

2．球的体积公式什么？

1．球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积S＝________．

2．球的体积

设球的半径为R，则球的体积V＝________．

名师点拨 

对球的体积和表面积的几点认识

(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．

(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．

(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．

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简单几何体的表面积与体积PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)决定球的大小的因素是球的半径．(　　)

(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　)

(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝R3S.(　　)

2.  半径为 3 的球的体积是(　　)

A．9π　　B．81π

C．27π　 D．36π　　　

3.  若一个球的直径为 2，则此球的表面积为(　　)

A．2π　　B．16π

C．8π  D．4π

4.  把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的(　　)

A．2 倍  B．22倍

C．2倍  D．32倍

5.  如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．

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简单几何体的表面积与体积PPT，第四部分内容：讲练互动

球的表面积与体积

例1 (1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是(　　)

A．12π　 B．16π

C．16π3  D．64π3

(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是(　　)

A．17π  B．18π

C．20π  D．28π

球的体积与表面积的求法及注意事项

(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．

(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．　 

球的截面问题

例2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)

A.500π3 cm3　 　　B.866π3 cm3

C.1 372π3 cm3  D.2 048π3 cm3

球的截面问题的解题技巧

(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．

(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.　 

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简单几何体的表面积与体积PPT，第五部分内容：达标反馈

1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是(　　)

A．36π，144π  B．36π，36π

C．144π，36π  D．144π，144π

2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是(　　)

A.6π6  B.π2

C.2π2  D.3π2π

3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________．

5．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT课件(平面与平面垂直) 第一部分内容：内容标准 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小． 2.了解面面垂..

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT课件(直线与平面垂直) 第一部分内容：内容标准 1.理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理． 2.能应用线面垂直判..

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT课件(直线与直线垂直) 第一部分内容：内容标准 1.会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直..

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT(直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定)

第一部分内容：学习目标

会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角

理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性

掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题

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空间直线平面的垂直PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：

1．异面直线所成的角的定义是什么？

2．异面直线所成的角的范围是什么？

3．异面直线垂直的定理是什么？

4．直线与平面垂直的定义是什么？

5．直线与平面垂直的判定定理是什么？

1．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是________，就说这两条异面直线________________．直线a与直线b垂直，记作________．

(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.

[名师点拨]

当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．

2．直线与平面垂直

定义 一般地，如果直线l与平面α内的________________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法 l⊥α

有关概念  直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．它们唯一的公共点P叫做________

图示及画法 

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

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空间直线平面的垂直PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．(　　)

(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)

(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)

2.  直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)

A．平行　　B．垂直

C．在平面α内  D．无法确定

3. 已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则(　　)

A．a∥α  B．a⊂α

C．a⊥α  D．a是α的斜线

4.  在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．

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空间直线平面的垂直PPT，第四部分内容：讲练互动

异面直线所成的角

如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．

求：(1)BE与CG所成的角；

(2)FO与BD所成的角．

【解】(1)如图，因为CG∥BF.

所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.

求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．

[提醒]　求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.　 

直线与平面垂直的定义

(1)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行　B．相交

C．异面  D．垂直

(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α  B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m  D．若l∥α，m∥α，则l∥m

对线面垂直定义的理解

(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．

(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.　 

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空间直线平面的垂直PPT，第五部分内容：达标反馈

1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(　　)

A．a⊥b，且a与b相交

B．a⊥b，且a与b不相交

C．a⊥b

D．a与b不一定垂直

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)

A．平面DD1C1C　　B．平面A1DB1

C．平面A1B1C1D1  D．平面A1DB

3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线(　　)

A．相交且垂直  B．不相交也不垂直

C．相交不垂直  D．不相交但垂直

4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________． 

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT(直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理)

第一部分内容：学习目标

了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法

理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题

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空间直线平面的垂直PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P151－P155的内容，思考以下问题：

1．直线与平面所成的角的定义是什么？

2．直线与平面所成的角的范围是什么？

3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？

4．如何求直线到平面的距离？

5．如何求两个平行平面间的距离？

1．直线与平面所成的角

(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的________，斜线和平面的交点A叫做________．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的________．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．

(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.

(3)范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是________________．

名师点拨 

把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．

2．直线与平面垂直的性质定理

名师点拨 

(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．

(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．

3. 线面距与面面距

(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上________________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的________________到另一个平面的距离都________，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 

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空间直线平面的垂直PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m⊂α，则直线l与m所成的角也是60°.(　　)

(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　)

(3)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.(　　)

2.  下列命题：

①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．

其中正确的个数是(　　)

A．0　　B．1

C．2       D．3

3.  若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(　　)

A．有且只有一个

B．可能存在也可能不存在

C．有无数多个

D．一定不存在

4.  在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；

(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；

(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．

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空间直线平面的垂直PPT，第四部分内容：讲练互动

直线与平面所成的角

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值． 

线面垂直的性质定理的应用

如图，已知正方体A1C.

(1)求证：A1C⊥B1D1；

(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，

求证：MN∥A1C.

(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．

(2)直线与平面垂直的其他性质

①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；

②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；

③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α；

④垂直于同一条直线的两个平面平行；

⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．　 

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空间直线平面的垂直PPT，第五部分内容：达标反馈

1．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　)

A．60°　　B．45°

C．30°  D．90°

2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是(　　)

A．PB⊥BC  B．PD⊥CD

C．PD⊥BD  D．PA⊥BD

3.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有(　　)

A．1条  B．2条

C．3条  D．无数条

4.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.

求证：BC∥FG.

《章末复习提升课》立体几何初步PPT

空间几何体的表面积与体积

如图所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作l⊥CB，以 l 为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.

【解】由题易知以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体如图所示，即圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥.

在梯形 ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，

所以CD＝BC－ADcos 60°＝2a，AB＝CDsin 60°＝3a，

所以 DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，

所以 DO＝12DD′＝a.

由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为 2a；

圆锥的母线长为 2a，底面半径为 a.

所以圆柱的侧面积 S1＝2π•2a•3a＝43πa2，

圆锥的侧面积 S2＝π•a•2a＝2πa2，

圆柱的底面积 S3＝π（2a）2＝4πa2，

圆锥的底面积 S4＝πa2，

空间几何体表面积、体积的求法

（1）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

（2）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

（3）求复杂几何体的体积时，常用割补法和等体积法求解.　 

球与其他几何体的组合问题

已知三棱锥SMABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为（　　）

A.26　　B.36

C.23      D.22

解决与球有关组合体问题的常用方法

（1）与球有关的组合体，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，充分发挥空间想象能力，做到以下几点：

①明确切点和接点的位置；

②确定有关元素间的数量关系；

③作出合适的截面图.

（2）一般地，作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素，能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系，将立体问题转化为平面问题解决.

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