三角函数PPT

《章末复习课》三角函数PPT

同角三角函数基本关系和诱导公式的应用

【例1】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.

(2)已知f(α)＝sin2π－α•cos2π－α•tan－π＋αsin－π＋α•tan－α＋3π.

①化简f(α)；

②若f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；

③若α＝－47π4，求f(α)的值．

[思路点拨]先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．

1．将本例(2)中“18”改为“－18”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sin α.

[解]　因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，

所以cos α＋sin α＞0，

又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×－18＝34，所以cos α＋sin α＝32.

2．将本例(2)中的用tan α表示1fα＋cos2α.

[解]　1fα＋cos2α＝1sin αcos α＋cos2α

＝sin2α＋cos2αsin αcos α＋cos2α＝tan2α＋1tan α＋1.

1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.

2．诱导公式可概括为k•π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．

三角函数的图象变换问题

【例2】(1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)

A.π2　B.π4

C．0  D．－π4

1．函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法

2．对称变换

(1)y＝f(x)的图象DDDD→关于x轴对称y＝－f(x)的图象．

(2)y＝f(x)的图象DDDD→关于y轴对称y＝f(－x)的图象．

(3)y＝f(x)的图象DDDD→关于0，0对称y＝－f(－x)的图象．

三角函数的性质

【例3】(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)

A.0，π2  B.π2，π

C.π4，π2  D.3π4，π

(2)已知函数f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中a为常数)．

①求f(x)的单调区间；

②若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值．

[思路点拨]　(1)先根据函数f(x)是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．

(2)①由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z求增区间，

由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z求减区间．

②先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值．

... ... ...

《章末复习课》牛顿运动定律PPT 第一部分内容：巩固层知识整合 [核心速填] 1．力与运动的关系：力可以_____物体的运动状态． 2．牛顿第一定律：一切物体总保持静止或__________状态，..

《章末复习课》力与平衡PPT 第一部分内容：巩固层知识整合 [核心速填] 1．力的合成与分解 (1)遵守定则：_________定则或_________定则． (2)两个共点力的合力范围：_________F_______..

《章末复习课》相互作用PPT 第一部分内容：巩固层知识整合 [核心速填] 1．力的概念 (1)矢量性：既有____又有____． (2)作用效果：使物体发生____，改变物体的____． 2．重力 (1)定义..

《章末复习提升课》三角函数PPT

同角三角函数基本关系式和诱导公式

已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：

(1)sin(2π－α)；

(2)sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）sin（π－α）cos（α＋2nπ）(n∈Z)．

(1)同角三角函数基本关系的应用

①已知一个三角函数求另外两个：利用平方关系、商式关系直接求解或解方程(组)求解．

②已知正切，求含正弦、余弦的齐次式；

(i)齐次式为分式时，分子分母同除以cos α或cos2α，化成正切后代入．

(ii)齐次式为整式时，分母看成1，利用1＝sin2α＋cos2α代入，再通过分子分母同除以cos α或cos2α化切．

(2)用诱导公式化简求值的方法

①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，π2±α，32π±α(或k•π2±α，k∈Z)的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简．

②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．　 

三角函数的图象及变换

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的图象上的一个最低点为M2π3，－2，周期为π.

(1)求f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移π6个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式． 

(1)由图象或部分图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数

①A：由最大值、最小值来确定A.

②ω：通过求周期T来确定ω.

③φ：利用已知点列方程求出．

(2)函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)x∈R图象的两种方法

三角函数的性质

已知函数f(x)＝4tan xsinπ2－x•cosx－π3－3.　

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．

(1)三角函数的两条性质

①周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.

②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝

Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式．

(2)求三角函数值域(最值)的方法

①利用sin x，cos x的有界性．

②从y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．

③换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

... ... ...

《章末复习提升课》平面向量初步PPT 综合提高 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③向..

《章末复习提升课》统计与概率PPT 综合提高 抽样方法 例1 (1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( ) A．与第几次抽样有关，第一次被抽到的可能性最大 B．与第几次抽样有关，..

《章末复习提升课》指数函数、对数函数与幂函数PPT课件 综合提高 指数、对数的运算 例1 化简：(1)(8) －23(3102)92105； (2)2log32－log3329＋log38－25log53. 规律方法 指数、对数的..

《三角函数的应用》三角函数PPT课件

第一部分内容：学习目标

了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型

会用三角函数模型解决简单的实际问题

... ... ...

三角函数的应用PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P242－P248，并思考以下问题：

1．在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？

2．解三角函数应用题有哪四步？

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义

■名师点拨

当A<0或ω<0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin2x－π4的初相不是φ＝－π4.

2．三角函数模型的建立程序

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.(　　)

(2)函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.(　　)

(3)“五点法”作函数y＝2sinx＋π3在一个周期上的简图时，第一个点为π3，0.(　　)

函数y＝2sinx2＋π5的周期、振幅依次是(　　)

A．4π，－2　B．4π，2

C．π，2     D．π，－2

函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是(　　)

A．A＝3，T＝5π6  B．A＝3，T＝5π3

C．A＝32，T＝5π6  D．A＝32，T＝5π3

已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(心跳次数即求频率)为(　　)

A．60  B．70

C．80  D．90

已知电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin100πt＋π3，则当t＝1200s时，电流强度为(　　)

A．5A  B．2.5A

C．2A  D．－5A

... ... ...

三角函数的应用PPT，第三部分内容：讲练互动

三角函数在物理中的应用

已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin2t＋π4.

(1)求小球开始振动的位置；

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．

利用三角函数处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性．

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．　 

三角函数在实际生活中的应用

如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；

(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？

... ... ...

三角函数的应用PPT，第四部分内容：达标反馈

1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)

A．[0，5]　B．[5，10]

C．[10，15]  D．[15，20]

2．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为2π7，初相为π6，则这个函数的解析式为________．

3．某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．

(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式；(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)

(2)画出种群数量y关于时间t变化的草图．

... ... ...

《章末复习课》三角函数PPT 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 【例1】(1)已知sin(－＋)＋2cos(3－)＝0，则sin ＋cos sin －cos ＝________. (2)已知f()＝sin2－cos2－tan－＋sin..

《章末复习提升课》三角函数PPT 综合提高 同角三角函数基本关系式和诱导公式 已知cos(＋)＝－12，且角在第四象限，计算： (1)sin(2－)； (2)sin[＋（2n＋1）]＋sin（＋）sin（－）cos..

《三角函数的应用》三角函数PPT下载 第一部分内容：学 习 目 标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2.实际问题抽..

《函数y＝Asin(ωx＋φ)》三角函数PPT(第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用)

第一部分内容：讲练互动

由图象求三角函数的解析式

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．

根据函数的部分图象求解析式的方法

(1)直接从图象确定振幅和周期，则可确定函数式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，结合φ的范围求出φ.

(2)通过若干特殊点代入函数式，通过解方程组求相关待定系数A，ω，φ.

(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．　 

1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<π2，则(　　)

A．A＝4　　B．ω＝1

C．φ＝π6    D．B＝4

2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，0<φ <π2的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点0，52，求这个函数的解析式．

三角函数图象的对称性

已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，求该函数的对称轴方程．

三角函数对称轴、对称中心的求法

对称轴               对称中心

y＝Asin(ωx＋φ)  令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求对称中心横坐标

y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)  令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，求对称中心横坐标

y＝Atan(ωx＋φ) 无   令ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求对称中心横坐标

三角函数性质的综合应用

(2019•沈阳质量检测(一))已知函数f(x)＝sin2x＋π3，以下命题中为假命题的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝π12对称

B．x＝－π6是函数f(x)的一个零点

C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移π3个单位长度得到

D．函数f(x)在0，π12上是增函数

(1)正、余弦型函数奇偶性的判断方法

正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±π2(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±π2(k∈Z)时为奇函数．

(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法

采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间从而求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．　 

... ... ...

函数y＝Asin(ωx＋φ)PPT，第二部分内容：达标反馈

1．(2019•北京海淀北理工附中期中)将函数y＝sin2x＋π4 的图象向右平移π8个单位长度，所得图象所对应的函数是(　　)

A．非奇非偶函数　　B．既奇又偶函数

C．奇函数  D．偶函数

2．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝π6，则φ的值为________．

3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，A>0，|φ|<π2的图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数y＝f(x)在－π4，π6上的值域．

... ... ...

《函数y＝Asin(ωx＋φ)》三角函数PPT(第1课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换)

第一部分内容：学习目标

会用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象

会通过变换由 y＝sin x 的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象

... ... ...

函数y＝Asin(ωx＋φ)PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P231－P239，并思考以下问题：

1．如何用 y＝sin x的图象变换为 y＝sin(x＋φ)(其中 φ≠0)的图象？

2．如何用 y＝sin x的图象变换为 y＝Asin x(A>0且 A≠1)的图象？

3．如何用 y＝sin x的图象变换为 y＝sin ωx(ω>0 且 ω≠1)的图象？

A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响

D→y＝sin（x＋φ）的图象

(2)ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

(3)A(A＞0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

■名师点拨

A，ω，φ对函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与 A 是正比例关系．

(2)|ω|越大，函数图象的周期越小，|ω|越小，周期越大，周期与|ω|为反比例关系．

(3)φ> 0 时，函数图象向左平移，φ<0 时，函数图象向右平移，即“加左减右”．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)将函数y＝sin x的图象向左平移π2个单位，得到函数y＝cos x的图象．(　　)

(2)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．(　　)

(3)把函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos 3x的图象．(　　)

利用“五点法”作函数y＝sin12x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点的横坐标为(　　)

A．0，π2，π，3π2，2π　　　　　　

B．0，π4，π2，3π4，π

C．0，π，2π，3π，4π  

D．0，π6，π3，π2，2π3

将函数y＝12cos x图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变，得到的函数解析式为(　　)

A．y＝4cos x　　B．y＝2cos x

C．y＝cos x        D．y＝14cos x

... ... ...

函数y＝Asin(ωx＋φ)PPT，第三部分内容：讲练互动

“五点法”作图

已知函数y＝3sinx2＋π6＋3(x∈R)，用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象．

1．(变条件)将本例函数解析式中的x2改为x，其他条件不变，结果如何？

2．(变条件)将本例函数解析式中的π6改为π3，其他条件不变，结果如何？

(1)“五点法”作图的实质

利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．

(2)“五点法”

作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：

①计算 x 取端点值时的 ωx＋φ 的范围；

②取出 ωx＋φ 范围内的“五点”，并计算出相应的 x 值；

③利用 ωx＋φ 的值计算 y 值；

④描点(x，y)，连线得到函数图象．　 

三角函数的图象变换

(1)有下列四种变换方式：

①向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)；

②横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度；

③横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度；

④向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)．

其中能将正弦函数 y＝sin x 的图象变为 y＝sin2x＋π4的图象的是(　　)

A．①和② B．①和③

C．②和③ D．②和④

(2)(2018•高考天津卷改编)将函数 y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数解析式为__________．

(1)图象平移变换的方法

①确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．

②当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；

若φ＜0，则右移|φ|个单位．　 

③当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移φω个单位；若φ＜0，则右移|φ|ω个单位．

(2)三角函数图象伸缩变换的方法

... ... ...

函数y＝Asin(ωx＋φ)PPT，第四部分内容：达标反馈

1．要得到 y＝tan x 的图象，只需把 y＝tanx＋π6的图象(　　)

A．向左平移π6个单位　B．向左平移π12个单位

C．向右平移π12个单位  D．向右平移π6个单位

2．将函数y＝sinx－π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数____________的图象．

3．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y＝12sin x的图象相同，求f(x)的解析式．

《三角恒等变换》三角函数PPT(第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式)

第一部分内容：学习目标

会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式

能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题

... ... ...

三角恒等变换PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P220－P223，并思考以下问题：

1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？

2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？

二倍角的正弦、余弦、正切公式

■名师点拨

正确理解二倍角公式

(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．

(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的2倍，α是α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)10α是5α的倍角，5α是5α2的倍角．(　　)

(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)

(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　)

(4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan2α.(　　)

已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于(　　)

A.75　　B.125

C.1225  D.2425

计算1－2sin222.5°的结果等于(　　)

A.12  B.22

C.33  D.32

... ... ...

三角恒等变换PPT，第三部分内容：讲练互动

求下列各式的值．

(1)sinπ8cosπ8；

(2)cos2π6－sin2π6；

(3)2tan 150°1－tan2150°； 

(4)cos π5cos 2π5.

给角求值问题的两类解法

(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．　 

已知π2<α<π，sin α＝45.

(1)求tan 2α的值；

(2)求cos2α－π4的值．

三角函数求值问题的一般思路

(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．

(2)注意几种公式的灵活应用，如：

①sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x

＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x；

②cos 2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x

＝2sinπ4－xcosπ4－x.　 

三角函数式的化简与证明

(1)化简的方法

①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.

(2)证明三角恒等式的方法

①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．　 

... ... ...

三角恒等变换PPT，第四部分内容：达标反馈

1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为(　　)

A．2　　B．－2

C．34     D．－34

2．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝_____，cos 2θ＝______．

3.cos π12－sin π12cos π12＋sin π12的值为________．

4．已知α∈π2，π，sin α＝55.

(1)求sin 2α，cos 2α的值；

(2)求cos5π6－2α的值．

... ... ...

《章末复习课》三角函数PPT 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 【例1】(1)已知sin(－＋)＋2cos(3－)＝0，则sin ＋cos sin －cos ＝________. (2)已知f()＝sin2－cos2－tan－＋sin..

《章末复习提升课》三角函数PPT 综合提高 同角三角函数基本关系式和诱导公式 已知cos(＋)＝－12，且角在第四象限，计算： (1)sin(2－)； (2)sin[＋（2n＋1）]＋sin（＋）sin（－）cos..

《三角函数的应用》三角函数PPT下载 第一部分内容：学 习 目 标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2.实际问题抽..

《三角恒等变换》三角函数PPT(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)

第一部分内容：讲练互动

三角函数公式逆用

求值：(1)sin π12－3cos π12；

(2)3－tan 15°1＋3tan 15°.

(1)在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．

(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造成适合公式的形式．　 

1．cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的值等于(　　)

A．0　　B．12

C．32     D．－12

2．已知sin α＋cosα－π6＝435，则sinα＋7π6的值是________．

3．设a＝sin 14°＋cos 14°，b＝sin 16°＋cos 16°，则a，b的大小关系是________(用“<”连接)．

三角函数公式的活用

计算：(1)tan π9＋tan 2π9＋3tan π9tan 2π9；

(2)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)．

正切函数公式的变形结论

tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β；

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；

tan α－tan β＝tan(α－β)•(1＋tan αtan β)；

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．　 

三角函数式的化简

化简：(1)(tan 10°－3)•cos 10°sin 50°；

(2)sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β]．

三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子的结构与特征．

(1)看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；

(2)看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化；

(3)看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形使用这些公式．　 

... ... ...

三角恒等变换PPT，第二部分内容：达标反馈

1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)

A．－32　 B．32

C．－12  D．12

2．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，则tan Atan B的值为________．

3．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，β是第三象限角，求sin(β＋π4)的值．

... ... ...

《章末复习课》三角函数PPT 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 【例1】(1)已知sin(－＋)＋2cos(3－)＝0，则sin ＋cos sin －cos ＝________. (2)已知f()＝sin2－cos2－tan－＋sin..

《章末复习提升课》三角函数PPT 综合提高 同角三角函数基本关系式和诱导公式 已知cos(＋)＝－12，且角在第四象限，计算： (1)sin(2－)； (2)sin[＋（2n＋1）]＋sin（＋）sin（－）cos..

《三角函数的应用》三角函数PPT下载 第一部分内容：学 习 目 标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2.实际问题抽..

《三角恒等变换》三角函数PPT(第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)

第一部分内容：学习目标

理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程

能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题

... ... ...

三角恒等变换PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P217－P220，并思考以下问题：

1．两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不同？

2．两角和与差的正弦、正切公式是什么？

两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式

两角和的余弦cos(α＋β)＝_______________________C(α＋β)

两角和的正弦sin(α＋β)＝_______________________S(α＋β)

两角差的正弦sin(α－β)＝_______________________S(α－β)

两角和的正切tan(α＋β)＝________________T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)

两角差的正切tan(α－β)＝________________T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)

■名师点拨

公式的记忆方法

(1)理顺公式间的联系．

C(α＋β)←D→以－β代βC(α－β)←D→诱导公式S(α－β)←D→以－β代βS(α＋β)

(2)注意公式的结构特征和符号规律．

对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．

对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．

(3)两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．

自我检测 

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)

(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．(　　)

(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　　)

(4)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)

(5)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．(　　)

已知tan α＝2，则tanα＋π4＝(　　)

A．－3　　B．3

C．－4  D．4

cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于(　　)

A．12  B．－12

C．0  D．1

... ... ...

三角恒等变换PPT，第三部分内容：讲练互动

求值：(1)cos 105°；

(2)tan 75°；

(3)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°.

解决给角求值问题的方法

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．

(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．　 

已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．

给值(式)求值的解题策略

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　 

... ... ...

三角恒等变换PPT，第四部分内容：达标反馈

1．(2019•北京清华附中月考)若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于(　　)

A．3　　　B．－3

C．13  D．－13

2．函数y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4的最小值为(　　)

A．2  B．－2

C．－2  D．3

3．若cos α＝－513，α∈π2，π，则cosα＋π6＝________．

《章末复习课》三角函数PPT 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 【例1】(1)已知sin(－＋)＋2cos(3－)＝0，则sin ＋cos sin －cos ＝________. (2)已知f()＝sin2－cos2－tan－＋sin..

《章末复习提升课》三角函数PPT 综合提高 同角三角函数基本关系式和诱导公式 已知cos(＋)＝－12，且角在第四象限，计算： (1)sin(2－)； (2)sin[＋（2n＋1）]＋sin（＋）sin（－）cos..

《三角函数的应用》三角函数PPT下载 第一部分内容：学 习 目 标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2.实际问题抽..

《三角恒等变换》三角函数PPT(第1课时两角差的余弦公式)

第一部分内容：学习目标

理解两角差的余弦公式的推导过程

能利用公式进行计算、化简及求值

... ... ...

三角恒等变换PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P215－P217，并思考以下问题：

1．两角差的余弦公式是什么？

2．公式中的α、β是任意的吗？

两角差的余弦公式

公式cos(α－β)＝___________________

简记符号C(α－β)

使用条件α，β为任意角

■名师点拨

(1)由C(α－β)可知，只要知道cos α，cos β，sin α，sin β的值，就可以求得cos(α－β)的值．

(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对∀α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　)

(2)对于∀α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　)

设α∈0，π2，若sin α＝35，则2cosα－π4等于(　　)

A．75　　B．15

C．－75  D．－15

cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°的值为(　　)

A．12  B．－12

C．32  D．－32

... ... ...

三角恒等变换PPT，第三部分内容：讲练互动

两角差的余弦公式的简单应用

求下列各式的值：

(1)cos(－375°)；

(2)cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6；

(3)12cos 105°＋32sin 105°.

利用两角差的余弦公式求值的一般思路

(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．

(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．　 

给值求值问题的解题策略

(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．

(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；

③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．　 

... ... ...

三角恒等变换PPT，第四部分内容：达标反馈

1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为(　　)

A.32　　　B.12

C.1＋32  D.3－12

2．已知cosα－π3＝cos α，则tan α＝________．

3．若0<α<π2，－π2<β<0，cos α＝13，cosβ2＝33，求cosα－β2的值．

... ... ...

《章末复习课》三角函数PPT 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 【例1】(1)已知sin(－＋)＋2cos(3－)＝0，则sin ＋cos sin －cos ＝________. (2)已知f()＝sin2－cos2－tan－＋sin..

《章末复习提升课》三角函数PPT 综合提高 同角三角函数基本关系式和诱导公式 已知cos(＋)＝－12，且角在第四象限，计算： (1)sin(2－)； (2)sin[＋（2n＋1）]＋sin（＋）sin（－）cos..

《三角函数的应用》三角函数PPT下载 第一部分内容：学 习 目 标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2.实际问题抽..

《三角函数的图象与性质》三角函数PPT(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)

第一部分内容：学习目标

理解正弦函数与余弦函数的单调性，会求函数的单调区间

会利用三角函数单调性比较三角函数值的大小

会利用三角函数单调性求函数的最值和值域

... ... ...

三角函数的图象与性质PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P204－P207，并思考以下问题：

1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？

2．正、余弦函数的最值分别是多少？

正弦、余弦函数的图象和性质

■名师点拨

正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y＝sin x都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝12sin x的最大值为1.(　　)

(2)∃x0∈[0，2π]，满足cos x0＝2.(　　)

(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(　　)

在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是(　　)

A．[0，π]　　B．π2，3π2

C．－π2，π2   D．[π，2π]

函数y＝1－2cosπ2x的最小值、最大值分别是(　　)

A．－1，3   B．－1，1

C．0，3  D．0，1

... ... ...

三角函数的图象与性质PPT，第三部分内容：讲练互动

正、余弦函数的单调性

求下列函数的单调递减区间：

(1)y＝12cos2x＋π3；

(2)y＝2sinπ4－x.

求正、余弦函数的单调区间的策略

(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．

(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．　 

1．函数y＝sinx＋π2，x∈R在(　　)

A．－π2，π2上是增函数

B．[0，π]上是减函数

C．[－π，0]上是减函数

D．[－π，π]上是减函数

2．求函数y＝sinx＋π4的单调增区间．

比较三角函数值的大小

比较下列各组数的大小．

(1)sin 1017π与sin 1117π；

(2)cos－7π8与cos 6π7；

(3)sin 194°与cos 160°.

比较三角函数值大小的步骤

(1)异名函数化为同名函数；

(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；

(3)利用函数的单调性比较大小．　 

... ... ...

三角函数的图象与性质PPT，第四部分内容：达标反馈

1．下列函数中，在区间π2，π上恒正且是增函数的是(　　)

A．y＝sin x　B．y＝cos x

C．y＝－sin x  D．y＝－cos x

2．函数y＝3cos12x－π4在x＝________时，y取最大值．

3．sin21π5________sin425π(填“>”或“<”)．

... ... ...

《章末复习课》三角函数PPT 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 【例1】(1)已知sin(－＋)＋2cos(3－)＝0，则sin ＋cos sin －cos ＝________. (2)已知f()＝sin2－cos2－tan－＋sin..

《章末复习提升课》三角函数PPT 综合提高 同角三角函数基本关系式和诱导公式 已知cos(＋)＝－12，且角在第四象限，计算： (1)sin(2－)； (2)sin[＋（2n＋1）]＋sin（＋）sin（－）cos..

《三角函数的应用》三角函数PPT下载 第一部分内容：学 习 目 标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2.实际问题抽..