《线段的垂直平分线》证明PPT课件

我们曾经利用折纸的方法得到:

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.

你能证明这一结论吗?

已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.

分析:(1)要证明PA=PB,就需要证明PA,PB所在的△APC≌△BPC，

而△APC≌△BPC的条件由已知  

AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理（SAS）.

... ... ...

定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.

∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),

∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.

∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),

∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).

逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

∵PA=PB(已知),

∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).

... ... ...

《线段的垂直平分线》PPT课件10 问题 线段的垂直平分线的定义？ 线段是轴对称图形么？ 怎样做出一条线段的垂直平分线？ 定义法; 折纸; 尺规作图法 尺规作图 作法： 1. 分别以点A、B为..

《线段的垂直平分线》PPT课件9 学习目标 1、能够利用尺规法作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性。 2、经历探索，证明线段垂直平分线性质定理及其逆定理的过程，进一步发..

《线段的垂直平分线》PPT课件8 教学目标 1、能说出线段的垂直平分线的定理和逆定理，会区别运用这两个定理。 2、体会学习数学的方法，观察，概括，验证，比较等在本课时中的应用。 3..

用尺规作线段的垂直平分线.

已知:线段AB,如图.

求作:线段AB的垂直平分线.

作法:1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.

2. 作直线CD.

则直线CD就是线段AB的垂直平分线.

请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.

定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.

∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),

∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).

... ... ...

剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.

观察这三条垂直平分线,你发现了什么?

结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.

你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?

已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?

如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗?

已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?

《线段的垂直平分线》PPT课件10 问题 线段的垂直平分线的定义？ 线段是轴对称图形么？ 怎样做出一条线段的垂直平分线？ 定义法; 折纸; 尺规作图法 尺规作图 作法： 1. 分别以点A、B为..

《线段的垂直平分线》PPT课件9 学习目标 1、能够利用尺规法作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性。 2、经历探索，证明线段垂直平分线性质定理及其逆定理的过程，进一步发..

《线段的垂直平分线》PPT课件8 教学目标 1、能说出线段的垂直平分线的定理和逆定理，会区别运用这两个定理。 2、体会学习数学的方法，观察，概括，验证，比较等在本课时中的应用。 3..

1、经历线段的垂直平分线概念的形成过程，认识线段的轴对称性，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 

2、会用尺规作出已知线段的垂直平分线。 

3、运用作图和实验的方法，探索线段的垂直平分线的性质定理和逆定理。

实验与探究：

试验：按以下方法，观察线段是否是轴对称图形?

请同学们在练习本上画出线段AB及其中点M,再过点M画出AB的垂线CD,沿直线CD将纸对折，观察线段MA和MB是否完全重合？

结论：线段MA和MB完全重合，因此，线段AB是轴对称图形。

... ... ...

问题1：既然线段AB是轴对称图形。那么它的对称轴是什么呢？

问题2：直线CD具有什么特征或特性?

定义：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。也称中垂线。

如上图，直线CD就是线段AB的垂直平分线

注意：①线段的中垂线是直线。②直线和射线没有中垂线。

... ... ...

线段的垂直平分线

动手操作：作线段AB的中垂线CD，垂足为M；在CD上任取一点E，连结EA、EB；量一量：EA、EB的长，你能发现什么？

由此你能得到什么规律？

命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

线段垂直平分线的性质：

线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

... ... ...

线段的垂直平分线的性质定理的逆定理

逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

∵EA=EB(已知),

∴点E在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).

线段的垂直平分线的作法

用尺规作线段的垂直平分线.

已知:线段AB,如图.

求作:线段AB的垂直平分线.

1.分别以点A和B为圆心,以大于1/2AB长为半径作弧,两弧交于点C和D.

2.作直线CD.

则直线CD就是线段AB的垂直平分线.

请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.

... ... ...

1.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=______cm；若PA=10 cm，则PB=________cm；此时，PD=_______cm.

2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=_____cm；AB+BD+DC=______cm；△ABC的周长是______cm

我学会了….

我感触最深的是….

我感到最困难的是….

最值得我学习的同学是…

《线段的垂直平分线》PPT课件10 问题 线段的垂直平分线的定义？ 线段是轴对称图形么？ 怎样做出一条线段的垂直平分线？ 定义法; 折纸; 尺规作图法 尺规作图 作法： 1. 分别以点A、B为..

《线段的垂直平分线》PPT课件9 学习目标 1、能够利用尺规法作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性。 2、经历探索，证明线段垂直平分线性质定理及其逆定理的过程，进一步发..

《线段的垂直平分线》PPT课件8 教学目标 1、能说出线段的垂直平分线的定理和逆定理，会区别运用这两个定理。 2、体会学习数学的方法，观察，概括，验证，比较等在本课时中的应用。 3..

1.线段是轴对称图形吗？如果是对称轴是什么？

2.什么是线段的垂直平分线？

3.怎样做出一条线段的垂直平分线？ 

思考:还有什么方法可以确定线段的垂直平分线？

尺规作图法：

1.分别以点A、B为圆心，大于1/2AB

长为半径，画弧  交于点E、F；

2.过点E、F作直线。

... ... ...

1、以已知线段AB为底边作等腰三角形可以做多少个？

2、如果不用尺规，用三角板，能画出上述要求的等腰三角形吗？

3、如果只用直尺，能画出上述要求的等腰三角形吗？

线段的垂直平分线

动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；

在MN上任取一点P，连结PA、PB；

量一量：PA、PB的长，你能发现什么？

由此你能得到什么规律？

命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等。

逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线  段的垂直平分线上。

一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三、 线段的垂直平分线的集合定义：

线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合

... ... ...

1、如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（     ）

A．ED = CD

B．∠DAC = ∠B

C．∠C ＞2∠B

D．∠B +∠ADE=90°

2、如图，在△ABC中，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（     ）

3、已知，如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上。

（1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是_______；

（2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是________。

4、已知如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长为_______。

... ... ...

证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。

线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。

与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 

过中点做垂线;

尺规作图法

《线段的垂直平分线》PPT课件10 问题 线段的垂直平分线的定义？ 线段是轴对称图形么？ 怎样做出一条线段的垂直平分线？ 定义法; 折纸; 尺规作图法 尺规作图 作法： 1. 分别以点A、B为..

《线段的垂直平分线》PPT课件9 学习目标 1、能够利用尺规法作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性。 2、经历探索，证明线段垂直平分线性质定理及其逆定理的过程，进一步发..

《线段的垂直平分线》PPT课件8 教学目标 1、能说出线段的垂直平分线的定理和逆定理，会区别运用这两个定理。 2、体会学习数学的方法，观察，概括，验证，比较等在本课时中的应用。 3..

1、回顾与巩固上学期证明(一)的有关内容;

2、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

3、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。

重点:了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 

难点:能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。

公理、定理与证明

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;

5.三边对应相等的两个三角形全等;

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

... ... ...

【三角形内角和定理】三角形三个内角的和等于180°.

△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.

∠A+∠B+∠C=180o 的几种变形: ∠A=180o –(∠B+∠C). ∠B=180o –(∠A+∠C). ∠C=180o –(∠A+∠B). ∠A+∠B=180o –∠C. ∠B+∠C=180o –∠A. ∠A+∠C=180o –∠B.

公理、定理及由它们直接推出来的结论(推论),以后可以直接运用. 

证明命题的一般步骤:

(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);

(2)根据题意,画出图形;

(3)结合图形,用符号语言 写出“已知”和“求证”;

(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”);

(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;

(6)检查表达过程是否正确,完善.

《你能证明它们吗》证明PPT课件4 等腰三角形的性质: 定理: 等腰三角形的两个底角相等 推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一) 结论1:等边三角..

《你能证明它们吗》证明PPT课件3 判断公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 你..

《你能证明它们吗》证明PPT课件2 定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形; 性质定理 等腰三角形的两个底角相等.简称:等边对等角. 性质定理的推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中..

一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？

一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？

你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？

与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.

定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.

已知:如图,在△ABC中AB=AC,∠B=600.

求证:△ABC是等边三角形.

证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),

∴∠C=∠B=600.(等边对等角).

∴∠A=600(三角形内角和定理).

∴∠A=∠B（等式性质）. 

∴ AC=CB（等角对等边）.

∴AB=BC=AC（等式性质）.

∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).

... ... ...

含30°角的直角三角形

1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D.求证:BD=AB/4.

分析:因为∠A=300,所以BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只要能使BD=BC/2即可,此时若∠BCD=300就可以了.而由“双垂直三角形”即可求得.

2.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H.

(1)求证:AB=AC;

(2)试在图中标出各个角的度数;

(3)求出图中各线段的长度,并说明理由.

等边三角形的判定:

定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.

定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.

特殊的直角三角形的性质:

定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.

老师提醒:反证法还认识你吗?

... ... ...

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.

你能发现其中的一些相等的线段吗?

你能发现其中的一些相等的角吗?

你能证明发现的结论吗?

1.已知:如图,在△ABC中,

(1)如果∠ABD=∠ABC/2,∠ACE=∠ACB/2,那么BD=CE吗? 如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3呢? 由此你能得到一个什么结论?

(2)如果AD=AC/2,AE=AB/2,那么BD=CE吗?如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么结论?

(3)你能证明得到的结论吗？

这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.

2.前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗?

即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.

求证:AB=AC.

分析:要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所在的两个三角形全等就可以了.

你是如何思考的，请与同伴交流你的做法.

如：作BC边上的中线；作∠A的平分线或作BC边上的高.

... ... ...

有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.

在△ABC中

∵∠B＝∠C（已知），

∴AB=AC（等角对等边）.

用反证法证明的一般步骤:

1.假设:先假设命题的结论不成立;

2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;

3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.

老师建议:

反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.

你可要结识“反证法”这个新朋友噢!

《等腰三角形的判定》证明PPT课件2 证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知)结论(求证); (2)根据题意画出图形; (3)结合图形用符号语言写出已知和求证; (4)分析题意探索..

《等腰三角形的判定》轴对称PPT课件 等腰三角形的判定： 如果一个三角形中有两个角相等那么这两个角所对的边也相等.(等角对等边) 分析：显然绳长CD和CE是相等的，问题实际上就是已知..

证明命题的一般步骤:

(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);

(2)根据题意,画出图形;

(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;

(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);

(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;

(6)检查表达过程是否正确,完善.

... ... ...

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.

在△ABC与△A′B′C′中

∵AB=A′B′（已知）, 

∠A=∠A′ （已知）,

BC=B′C′ （已知）,

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.

等腰三角形的性质

定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).

推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一).

你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?

... ... ...

理解证明的必要性和规范性.

理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.

你对“执果索因”,“由因导果”理解与运用有何进步.

规范性中的条理清晰,因果相应,言B有据的要求是否内化为一种技能.

几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高.

关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器.

你准备如何提高证明命题的能力呢?

《等腰三角形的判定》证明PPT课件 在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）. 你能发现其中的一些相等的线段吗? 你能发现其中的一些相等的角吗? 你能证明发现的结论吗? ..

《等腰三角形的判定》轴对称PPT课件 等腰三角形的判定： 如果一个三角形中有两个角相等那么这两个角所对的边也相等.(等角对等边) 分析：显然绳长CD和CE是相等的，问题实际上就是已知..