《解直角三角形》锐角三角函数PPT课件

在直角三角形中，除了直角外还有哪些边角元素？

（1） 三边关系：a²+b²=c²（勾股定理）

（2）锐角关系  ∠A+∠B=90°

（3）边角关系

sinA=∠A的对边/斜边

cosA=∠A的邻边/斜边

tanA=∠A的对边/∠A的邻边

cotA=∠A的邻边/∠A的对边

... ... ...

解直角三角形

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程

利用三边的关系，锐角的关系，边角的关系，知道其中的2个元素（至少有1个是边，）就可以求出其余的3个元素。

例1、在△ABC中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个直角三角形。

分析：（1）未知元素是∠A、a、b；（2）∠A最容易求出，

例2。在Rt△ABC中a=104.0, b=20.49，解这个三角形。

解：（1）∵tanA=a/b=104.0/20.49≈5.076

则可得：∠A=78°51′

（2）∠B=90°—78°51′=11°09′

（3）∵sinA=a/c

∴c=a/sinA=104.0/0.9812≈106.0

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解直角三角形的思考方法是：有斜（斜边）用弦（正、余弦），无斜用切（正、余切）；宁乘勿除，尽量采用原始数据，以图辅助，启迪思维。

意思：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则取原始数据，避免用中间数据。

1。在Rt△ABC中，

（1）如果已知∠A，c,则a=_____b=_____∠B=_____

（2）如果已知a, ∠B,则b=_____ c=_____ ∠A=_____

（3）如果已知∠A，b,则a=_____  c=_____  ∠B=_____ 

（4）如果已知a,b,则 c=_____∠A=_____∠B=_____

... ... ...

1、若tanA=2，则cot（90°-A）=_______

2、α为锐角，且tan α=1，则α=____，

cos α=_____

3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12

则sinA=_____，cotA=_____

4、tan42°tan45°tan48°=_____

1、cos245+tan60°sin60°

2、2sin30°+tan60°cos30°-3cot 260°+sin90°

《解直角三角形的应用》PPT课件2 1．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线______方的叫做仰角，在水平线________方的叫做俯角． 2．如图，坡面的垂直高度h和___________的比hl叫做..

《解直角三角形》PPT课件2 解直角三角形有四种基本类型： (1)已知斜边和一直角边； (2)已知两直角边； (3)已知斜边和一锐角； (4)已知一直角边和一锐角，其解法步骤如下表： 1．(3分)..

《解直角三角形》PPT课件2 温故知新 1.直角三角形的边角关系： （1）角之间的关系：A＋B = 90 ； （2）边之间的关系：a2＋b2＝c2 ; （3）角与边之间的关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA..

1.认识解直角三角形的概念；

2.探索解直角三角形至少需要多少元素；

3.会用公式解直角三角形.

解直角三角形

1.三边之间的关系:

a2+b2=c2

2.两锐角之间的关系:

∠A+∠B=90°

3.边角之间的关系

正弦函数：sinA=∠A的对边/斜边

余弦函数：cosA=∠A的临边/斜边

正切函数：tanA=∠A的对边/临边

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如果知道了五个元素的两个元素（至少有一个边），就可以求出其余三个元素.

在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6′，c=287.4.解这个直角三角形.

解析：∠A=90°-42°6′=47°54′

由cosB=a/c，得a=c·cosB=287.4×0.7420=213.3

由sinB=b/c，得b=c·sinB=287.4×0.6704=192.7

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1．（2010·江西中考）如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝_____米（用计算器计算，结果精确到0.1米） 

解析：由tanC=AB/BC,得

AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0

答案：13.0

... ... ...

解直角三角形，只有下面两种情况：

（1）已知两条边；

（2）已知一条边和一个锐角

1、根据下列条件，解直角三角形。（精确到0.01）

（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，唬30， ∠B=80 °；

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b=4.

2、在ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝8，AD=6, ∠D=43°,求梯形的面积。（精确到0.01）

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通过这节课，我们应当掌握：

1.认识解直角三角形的概念；

2.探索解直角三角形至少需要多少元素；

3.会用公式解直角三角形.能把数学问题转化成解直角三角形问题.

4.大家可别忘了“遇斜化直”的数学思想方法！

《解直角三角形的应用》PPT课件2 1．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线______方的叫做仰角，在水平线________方的叫做俯角． 2．如图，坡面的垂直高度h和___________的比hl叫做..

《解直角三角形》PPT课件2 解直角三角形有四种基本类型： (1)已知斜边和一直角边； (2)已知两直角边； (3)已知斜边和一锐角； (4)已知一直角边和一锐角，其解法步骤如下表： 1．(3分)..

《解直角三角形》PPT课件2 温故知新 1.直角三角形的边角关系： （1）角之间的关系：A＋B = 90 ； （2）边之间的关系：a2＋b2＝c2 ; （3）角与边之间的关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA..

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:

(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房?(精确到0.1m)

角α越大,攀上的高度就越高.

这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 75°,斜边AB=6,求BC的长

(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人能否安全使用这个梯子?

这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知AC=2.4m,斜边AB=6,  求锐角α的度数?

(3)梯子底端最远可以距离墙面多远？(精确到0.1m)

角α越小,梯子底端距离墙面越远.

这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 50°,斜边AB=6,求AC的长

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探究:在Rt△ABC中,

(1)根据∠A= 75°,斜边AB=6,你能求出这个三角形的其他元素吗?

(2)根据AC=2.4m,斜边AB=6,你能求出这个三角形的其他元素吗?

(3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗?

在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.

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1.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形

(1)a=30       ,b=20

(2)∠B=72°,   c=14

尝试一下:你还有其它方法吗？请同学们试着用这两种方法做做看。 (小组合作)

《解直角三角形的应用》PPT课件2 1．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线______方的叫做仰角，在水平线________方的叫做俯角． 2．如图，坡面的垂直高度h和___________的比hl叫做..

《解直角三角形》PPT课件2 解直角三角形有四种基本类型： (1)已知斜边和一直角边； (2)已知两直角边； (3)已知斜边和一锐角； (4)已知一直角边和一锐角，其解法步骤如下表： 1．(3分)..

《解直角三角形》PPT课件2 温故知新 1.直角三角形的边角关系： （1）角之间的关系：A＋B = 90 ； （2）边之间的关系：a2＋b2＝c2 ; （3）角与边之间的关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA..

【知识与能力】

1．掌握直角三角形的边角关系；

2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

【过程与方法】

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步分析问题、解决问题的能力．

【情感态度与价值观】

通过本节的学习，渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯．

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解直角三角形的依据

（1）三边之间的关系

a²＋b²＝c²（勾股定理）；

（2）锐角之间的关系

∠ A＋ ∠ B＝ 90º

（3）边角之间的关系

sinA=a/c   cosA=b/c   tanA=a/b   cotA=b/a

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在下图的Rt△ABC中，

（1）根据∠A=60°，斜边AB=6，试求出这个直角三角形的其他元素．

∠B＝30°；

AC＝3，

BC＝3√3

（2）根据AC=3，斜边AB=6，试求出这个直角三角形的其他元素？

∠B＝30°；

∠A＝60，

BC＝3√3

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在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可求出其余的元素．

解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫解直角三角形． 

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仰角和俯角

在进行测量时：

从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．

（1）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1500米，从飞机上看地平面控制点B的俯角a=25°，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

（2）如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=82°．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为45m，当时水位为+2m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到0.01m）．

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坡度、坡角

坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

（1）如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=500m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远（精确到0.1m），正好能使A、C、E成一条直线？

解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．

∴∠BED=∠ABD－∠D=90°

∴DE=BD·cosD=500×0.6428=321.400≈321.4（m） 

答：开挖点E离D为321.4米，正好能使A、C、E成一直线．

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利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案．

1．解直角三角形的依据

（1）三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；

（2）锐角之间的关系∠ A＋ ∠ B＝ 90º

（3）边角之间的关系sinA=a/c   cosA=b/c   tanA=a/b   cotA=b/a

2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案．

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1．在△ABC中，∠C=90°，解这个直角三角形．

⑴∠A=60°，斜边上的高CD =√3 ；

⑵∠A=60°，a+b=3+√3 ．

2．在Rt△ABC中∠C＝90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB．

（1）求tanB；

（2）若DE=1，求CE的长．

3．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，

求：sinB，cosB，tanB的值．

《解直角三角形的应用》PPT课件2 1．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线______方的叫做仰角，在水平线________方的叫做俯角． 2．如图，坡面的垂直高度h和___________的比hl叫做..

《解直角三角形》PPT课件2 解直角三角形有四种基本类型： (1)已知斜边和一直角边； (2)已知两直角边； (3)已知斜边和一锐角； (4)已知一直角边和一锐角，其解法步骤如下表： 1．(3分)..

《解直角三角形》PPT课件2 温故知新 1.直角三角形的边角关系： （1）角之间的关系：A＋B = 90 ； （2）边之间的关系：a2＋b2＝c2 ; （3）角与边之间的关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA..

1.了解仰角、俯角的概念，能应用锐角三角函数的知识解决有关实际问题；

2.培养学生分析问题、解决问题的能力.

（1）三边之间的关系  a2＋b2＝c2

（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°

（3）边角之间的关系

sinA=∠A的对边/斜边=a/c     sinA=∠B的对边/斜边=b/c

cosA=∠A的临边/斜边=b/c    cosA=∠B的临边/斜边=a/c

tanA=∠A的对边/临边=a/b    tanA=∠B的对边/临边=b/a

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【例1】2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，取3.142，结果保留整数）

【分析】从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点．

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

【例2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果保留小数点后一位）.

【分析】我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中， =30°,β=60°.

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1.（青海·中考）如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为（    ）

A.150√3米     B.180√3米

C.200√3米     D.220√3米

2.（株洲·中考）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚出发，沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上升的高度是_____米． 

【解析】依题意得，∠ACB=90°.所以sin∠BAC=sin30°=BC/AB=BC/80=1/2

所以BC=40（米）.

【答案】40

3. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角60°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）

【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，

在Rt△ACD中：tan∠ADC=AC/DC

∴AC=tan∠ADC×DC

=tan54°×40≈55.1m

所以AB=AC－BC=55.1－40=15.1m

答：棋杆的高度为15.1m.

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利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:

1.将实际问题抽象为数学问题;

(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)

2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;

3.得到数学问题的答案;

4.得到实际问题的答案.

《解直角三角形的应用》PPT课件2 1．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线______方的叫做仰角，在水平线________方的叫做俯角． 2．如图，坡面的垂直高度h和___________的比hl叫做..

《解直角三角形》PPT课件2 解直角三角形有四种基本类型： (1)已知斜边和一直角边； (2)已知两直角边； (3)已知斜边和一锐角； (4)已知一直角边和一锐角，其解法步骤如下表： 1．(3分)..

《解直角三角形》PPT课件2 温故知新 1.直角三角形的边角关系： （1）角之间的关系：A＋B = 90 ； （2）边之间的关系：a2＋b2＝c2 ; （3）角与边之间的关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA..

交流与发现

在Rt△ABC 中，∠C = 90°,∠A,∠B，∠C 的对边分别是a, b, c．除直角C外，你会用含有这些字母的等式把5个元素之间的关系表示出来吗？

（1）角之间的关系：∠A＋∠B = 90 °；

（2）边之间的关系：a2＋b2＝c2 ; 

（3）角与边之间的关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b

利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个元素就可以求其他的元素了？

两个角        

两个元素(至少一个是边)

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由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

例1  在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=17.5，c＝62.5．解这个直角三角形

分析：这是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题．

要会选择适当的三角比．

例2  在Rt△ABC中，已知∠C=90°，c=128，∠B=52°

解这个直角三角形（边长精确到0.01）

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1．在Rt△ABC中，已知∠C = 90° , a=12, b =24 ．

解这个直角三角形

2．在Rt△ABC 中，∠C = 90 °. 

(l)已知c = 15，∠ B = 60°，求a ; 

(2)已知∠A＝35°，a＝24，求b , c .

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1.直角三角形的边角关系：

（1）角之间的关系：∠A＋∠B = 90 °；

（2）边之间的关系：a2＋b2＝c2 ; 

（3）角与边之间的关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b

2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元素？

有几种情况？

两个元素(至少一个是边)  两条边或一边一角

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《解直角三角形的应用》PPT课件2 1．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线______方的叫做仰角，在水平线________方的叫做俯角． 2．如图，坡面的垂直高度h和___________的比hl叫做..

《解直角三角形》PPT课件2 解直角三角形有四种基本类型： (1)已知斜边和一直角边； (2)已知两直角边； (3)已知斜边和一锐角； (4)已知一直角边和一锐角，其解法步骤如下表： 1．(3分)..

《解直角三角形》PPT课件2 温故知新 1.直角三角形的边角关系： （1）角之间的关系：A＋B = 90 ； （2）边之间的关系：a2＋b2＝c2 ; （3）角与边之间的关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA..

如果任意改变B2在梯子上的位置呢?你有什么想法?

∠A的大小确定, ∠A的对边与邻边的比值不变。

如果改变∠A 的大小, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变吗? 

∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值也随之改变。

由此你能得出什么结论?

当直角三角形的锐角确定后，它的对边与邻边的比值也随之唯一确定；比值和三角形的大小无关，只和倾斜角的大小有关。

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在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比也随之确定,这个比叫做∠A的正切.

记作:tanA

tanA =∠A的对边/∠A的邻边

思考  前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？

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斜坡的倾斜程度常用坡度表示.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,山坡的坡度

1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角

2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切。

3.坡度越大,坡面越陡。

挑 战 自 我

1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？ 

2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).

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在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比也随之确定,这个比叫做

记作:tanA

tanA =∠A的对边/∠A的邻边

tanA的值越大,梯子AB越陡. 

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1.进一步巩固一个锐角的正弦、余弦和正切等三角函数的定义；

2.掌握30°、45°、60°角的各种三角函数的值；

3.学会用计算器求一角的三角函数值；

4.感受数学与客观世界的联系，体验合作交流探索数学的乐趣.

定义中应该注意的几个问题:

1. sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2. sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。

3. sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与所在三角形及角的边长无关。  

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1.如图,在△ABC中,锐角A的两边AB和AC分别扩大100和10倍,tanA的值（    ）

A.扩大10倍     B.缩小10倍 

C.不变           D.不能确定

2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。

tanA =(     )/AC=CD/(     )=BD/CD

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例1求下列各式的值：

（1）cos260°＋sin260°

（2）cos45°/sin45°-tan45°

（3）tan45°.sin45°-4sin30°.cos45°+cos230°

1.求下列各式的值：

（1）1－2 sin30°cos30°

（2）3tan30°－tan45°+2sin60°

（3）cos60°/1+sin60°+1/tan30°

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D ，已知∠B=30°，计算tan∠ACD+sin∠BCD的值。

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA+tanB=4, △ABC面积为8，求AB的长。

4.在Rt△ABC中，∠C=90°.

求证：sin2A+cos2A=1.

... ... ...

1.作业本：课本P82，习题28.1第3题；

2.质量监测：P43-45：28.1(3)(4).A组，B组；

3.学考2+1之随堂10分钟：P59-60.

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