《角平分线》证明PPT课件

你还记得角平分线上的点有什么性质吗?

角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

你能证明这一结论吗?

已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点， 

PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.

求证:PD=PE.

分析:要证明PD=PE,

只要证明它们所在的△OPD≌△OPB，

而△OPD≌△OPB的条件

由已知易知它满足公理(AAS).  

... ... ...

角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

∵OC是∠AOB的平分线,

 P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).

你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

... ... ...

活动与探究:已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD

求证：∠BAP+∠BCP=180°

方法总结：（1）有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，在利用角平分线的判定或性质证题则问题往往迅速得解；

（2）有线段的和差关系时，常用截长补短法作辅助线化和差关系为相等关系。

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用尺规作角的平分线

已知:∠AOB,如图.

求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.

1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.

2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.

3.作射线OC.

则射线OC就是∠AOB的平分线.

角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

如图,∵OC是∠AOB的平分线,

P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).

... ... ...

定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 

逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).

三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点,这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.

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1、回顾与巩固上学期证明(一)的有关内容;

2、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

3、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。

重点:了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 

难点:能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。

公理、定理与证明

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;

5.三边对应相等的两个三角形全等;

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

... ... ...

【三角形内角和定理】三角形三个内角的和等于180°.

△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.

∠A+∠B+∠C=180o 的几种变形: ∠A=180o –(∠B+∠C). ∠B=180o –(∠A+∠C). ∠C=180o –(∠A+∠B). ∠A+∠B=180o –∠C. ∠B+∠C=180o –∠A. ∠A+∠C=180o –∠B.

公理、定理及由它们直接推出来的结论(推论),以后可以直接运用. 

证明命题的一般步骤:

(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);

(2)根据题意,画出图形;

(3)结合图形,用符号语言 写出“已知”和“求证”;

(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”);

(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;

(6)检查表达过程是否正确,完善.

《你能证明它们吗》证明PPT课件4 等腰三角形的性质: 定理: 等腰三角形的两个底角相等 推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一) 结论1:等边三角..

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一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？

一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？

你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？

与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.

定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.

已知:如图,在△ABC中AB=AC,∠B=600.

求证:△ABC是等边三角形.

证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),

∴∠C=∠B=600.(等边对等角).

∴∠A=600(三角形内角和定理).

∴∠A=∠B（等式性质）. 

∴ AC=CB（等角对等边）.

∴AB=BC=AC（等式性质）.

∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).

... ... ...

含30°角的直角三角形

1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D.求证:BD=AB/4.

分析:因为∠A=300,所以BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只要能使BD=BC/2即可,此时若∠BCD=300就可以了.而由“双垂直三角形”即可求得.

2.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H.

(1)求证:AB=AC;

(2)试在图中标出各个角的度数;

(3)求出图中各线段的长度,并说明理由.

等边三角形的判定:

定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.

定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.

特殊的直角三角形的性质:

定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.

老师提醒:反证法还认识你吗?

... ... ...

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.

你能发现其中的一些相等的线段吗?

你能发现其中的一些相等的角吗?

你能证明发现的结论吗?

1.已知:如图,在△ABC中,

(1)如果∠ABD=∠ABC/2,∠ACE=∠ACB/2,那么BD=CE吗? 如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3呢? 由此你能得到一个什么结论?

(2)如果AD=AC/2,AE=AB/2,那么BD=CE吗?如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么结论?

(3)你能证明得到的结论吗？

这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.

2.前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗?

即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.

求证:AB=AC.

分析:要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所在的两个三角形全等就可以了.

你是如何思考的，请与同伴交流你的做法.

如：作BC边上的中线；作∠A的平分线或作BC边上的高.

... ... ...

有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.

在△ABC中

∵∠B＝∠C（已知），

∴AB=AC（等角对等边）.

用反证法证明的一般步骤:

1.假设:先假设命题的结论不成立;

2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;

3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.

老师建议:

反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.

你可要结识“反证法”这个新朋友噢!

《等腰三角形的判定》证明PPT课件2 证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知)结论(求证); (2)根据题意画出图形; (3)结合图形用符号语言写出已知和求证; (4)分析题意探索..

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证明命题的一般步骤:

(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);

(2)根据题意,画出图形;

(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;

(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);

(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;

(6)检查表达过程是否正确,完善.

... ... ...

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.

在△ABC与△A′B′C′中

∵AB=A′B′（已知）, 

∠A=∠A′ （已知）,

BC=B′C′ （已知）,

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.

等腰三角形的性质

定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).

推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一).

你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?

... ... ...

理解证明的必要性和规范性.

理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.

你对“执果索因”,“由因导果”理解与运用有何进步.

规范性中的条理清晰,因果相应,言B有据的要求是否内化为一种技能.

几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高.

关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器.

你准备如何提高证明命题的能力呢?

《等腰三角形的判定》证明PPT课件 在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）. 你能发现其中的一些相等的线段吗? 你能发现其中的一些相等的角吗? 你能证明发现的结论吗? ..

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判断公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.

两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.

你能用上面的公理证明下面的推论吗？

推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)

... ... ...

推论:   等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).

∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).

∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.

∵AB=AC, BD=CD (已知).

∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）

∵AB=AC, AD⊥BC(已知).

∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）

轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.

... ... ...

1.证明:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°.

2.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,且AC垂直BD,AC=BC=CD.

(1) 求证:△ABD是等腰三角形

(2)求∠ABD的度数

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等腰三角形的性质:

定理:  等腰三角形的两个底角相等

推论:  等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一)

结论1:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°

结论2:等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.

结论3:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

结论4:等腰三角形两底角的平分线相等.

结论5:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.

判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称:等角对等边.

... ... ...

（1），一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？ 

（2），你认为有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。

定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=600.

求证:△ABC是等边三角形. 

证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),

∴∠C=∠B=600.(等边对等角)

∴∠A=600(三角形内角和定理)

∴∠A=∠B（等式性质）. 

∴ AC=CB（等角对等边）.

∴AB=BC=AC（等式性质）.

∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).

... ... ...

《你能证明它们吗》证明PPT课件3 判断公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 你..

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《你能证明它们吗》证明PPT课件 1、回顾与巩固上学期证明(一)的有关内容; 2、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 3、经历探索－发现－猜想－证明的过..