《用公式法解一元二次方程》一元二次方程PPT课件

回顾与复习

一、用配方法解下列方程2x²-12x+10=0

二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？       

1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）;

2.移项:把常数项移到方程的右边;

3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;

4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;

5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;

6.求解:解一元一次方程;

7.定解:写出原方程的解.

... ... ...

一、用配方解一元二次方程的步骤是什么？       

移项：把常数项移到方程的右边；

配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

开方：根据平方根意义，方程两边开平方；

求解：解一元一次方程；

定解：写出原方程的解．

二、用配方法解一元二次方程：

(1)2x²+4x+1=0    (2)3x²-12x+1/3=0

... ... ...

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

（1）把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值．

（2）求出b²-4ac的值．

（3）代入求根公式：x=-b±√b²-4ac/2a

（4）写出方程的解： x1=？，x2=？

1、关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0 （a≠0）． 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？

2、m取什么值时，方程 x²+（2m+1）x+m²-4=0有两个相等的实数解

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用配方法解一元二次方程   2x²+4x+1=0

用配方法解一元二次方程的步骤：

1．把原方程化成 x²+px+q=0的形式．

2．移项整理 得 x²+px=-q  

3．在方程 x²+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方．    

1、关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)． 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？

2、m取什么值时，方程 x²+(2m+1)x+m²-4=0有两个相等的实数解

公式法将从这里诞生

你能用配方法解方程  2x²-9x+8=0吗？

《用公式法解一元二次方程》PPT课件3 我们对于每一个具体的一元二次方程，都重复使用了同一些计算步骤； 能不能对一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a0)使用这些计算步骤，求出解 x 的..

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1.一元二次方程的概念 

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式 

一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax²+bx+c=0 的形式,我们把ax²+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。

上一节我们认识了一元二次方程,接下来我们就要探求一元二次方程的解.

方程解的定义是怎样的呢?

能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解

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拓展提高 

1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－2，求m的值。m=-4

2.方程(x－1)(x+3)(x －2)=0的解为x1=1,x2=-3,x3=2

3.方程(x2－1)(2x+5)=0的解为x1=1,x2=-1,x3=2.5

4.已知m是方程x2+x－2009=0的一个根，求m2+m的值为2009。

5.方程x2－2007x－2008=0的解为(    )

A.1；2               B. 2；2008    

C.－1；2008      D. 1；－2008

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早知内容：

1、方程：含有未知数的等式叫方程

2、方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解

3、方程的根：一元方程的解又叫方程的根

4、一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程

5、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项最高次数为1的整式方程

6、分式方程：分母中含有未知数的方程

7、根式方程：根号下含有未知数的方程

8、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程

9、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0、a、b、c为常数)

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一元二次方程的概念 

只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程

判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。

一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。

一元二次方程：a≠0

一般形式：“＝”的右边必须为0

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拓展提高 

1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－2，求m的值。m=-4

2.方程(x－1)(x+3)(x －2)=0的解为x1=1,x2=-3,x3=2

3.已知m是方程x2+x－2014=0的一个根，求m2+m的值为2014。

一元二次方程： ax2+bx+c=0，

若a+b+c=0,则方程: ax2+bx+c=0，必有一个根为1

若a-b+c=0,则方程: ax2+bx+c=0，必有一个根为-1

若4a+2b+c=0,则方程: ax2+bx+c=0，必有一个根为2

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1、一元二次方程的概念 

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

2、一元二次方程的一般形式

ax²+bx+c=0（a≠0）

把方程（1-x)(2-x)=3-x2  化为一般形式是：___________, 其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.

方程(m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （   ）

A.m=±2       B.m=2       C.m=-2      D.m≠ ±2 

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1.什么叫做平方根?

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.

2.平方根有哪些性质？

(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数的；

(2)零的平方根是零；

(3)负数没有平方根.

什么叫直接开平方法？

像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法.

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1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？

如果一个一元二次方程具有x2=a（a≥0）或 （ax＋h）2= k（k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.

2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 .

3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.

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1．理解解一元二次方程降次的转化思想；

2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程；

3.体会类比的思想；

重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解.

难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类讨论的意识. 

问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。

问题2.平方根有哪些性质？

(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。

问题3 :什么叫做开平方运算？

求一个数平方根的运算叫做开平方运算。

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什么叫直接开平方法？

像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的定义用直接开平方解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于(A)²=p(p≥0)形式的一元二次方程的求解。这里的A既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变形可以转化为(A)²=p(p≥0)形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。

... ... ...

1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个一次方程；

降次的方法：直接开平方法；

降次体现了：转化思想；

2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解.

《解一元二次方程配方法》PPT课件 用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程的二次项系数化为________； (2)把常数项移到方程的________边； (3)方程两边都加上一次项系数______..

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回顾与思考

1.利用直接开平方法解下列方程

(1)  x²-6=0

(2)  (x+3)²=5

2.能利用直接开平方法求解的一元二次方程具有什么特征?

如何解方程:  x²+6x+4=0？

(1)观察 (x+3)²=5与这个方程有什么关系？

(2)你能将方程转化成（x+h)²=k(k ≥ 0)的形式吗?

... ... ...

用配方法解一元二次方程的步骤:

移项:把常数项移到方程的右边;

配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将方程左边配成完全平方式

开方:根据平方根意义,方程两边开平方;

求解:解一元一次方程;

定解:写出原方程的解.

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1、配方法：像这样，把方程的左边配成含有x的完全平方形式，右边是非负数，从而可以用直接开平方法来解方程的方法就做配方法。

2、用配方法解一元二次方程的步骤：

①移项 ②化1 ③配方 ④降次 ⑤定解

小结：解一元二次方程的基本思路 

把原方程变为(x+h)2＝k的形式(其中h、k是常数）。

当k≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程。 

当k<0时，原方程的解又如何？

《解一元二次方程配方法》PPT课件 用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程的二次项系数化为________； (2)把常数项移到方程的________边； (3)方程两边都加上一次项系数______..

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1、了解什么是配方法；

2、会用配方法准确而熟练解一元二次方程；

3、理解配方法的关键、基本思想和步骤；

4、体会转化、类比、降次的思想。

巩固练习 

（1）方程x²=0.25的根是X1=0.5,  x2=－0.5

（2）方程2x²=18的根是X1＝3， x2＝-3      

（3）方程(2x-1)²=9 的根是X1＝2， x2＝－1

2. 选择适当的方法解下列方程：

（1）x²－ 81＝0    （2） x² ＝50                            

（3）(x＋1)²=4      （4）x²＋2x＋5=0

... ... ...

把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

探索规律：

(1)x²＋8x＋4²=(x＋4 )²

(2)x²－4x＋2²=(x－2 )²

(3)x²－6x＋3²=(x－3 )²

思考：当二次项系数是1时，常数项与一次项的系数有怎样的关系？

规律：当二次项系数是1时，常数项是一次项系数一半的平方。

... ... ...

谈谈你的收获！！

1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.

2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

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1．直接开平方降次法

根据平方根的定义，把一个一元二次方程______，转化为________一元一次方程，这种方法可解形如(x－a)2＝b(b≥0)的方程，其解为____________．

注意：用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有：

x2＝a(a≥0)；ax2＝b(a，b 同号，且a≠0)；(x＋a)2＝b(b≥0)；

a(x＋b)2＝c(a，c 同号，且 a≠0)．

2．配方法

通过配成________________来解一元二次方程的方法叫做

配方法．配方是为了________ ，把一个一元二次方程转化为_____________来解．

注意：配方法的一般步骤：

①把常数项移到等号的右边；

②把二次项的系数化为 1；

③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

... ... ...

归纳：由上可知，

(1)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的 a，b，c 而定；

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．

注意：采用公式法时首先要将方程化简为一般式．

4．一元二次方程根的判别式

由根的判别式________________的值可以直接去判断方程

根的个数情况，而不用求解方程：

当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__________________________；

当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__________________________；

当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__________________________．

... ... ...

用配方法解下列方程：

(1)x2＋6x＋5＝0；

(2)2x2＋6x－2＝0；

(3)(1＋x)2＋2(x＋1)－4＝0.

思路点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)化二次项系数为 1；

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

(3)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；

... ... ...

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