《不等式的基本性质》PPT

基本概念：

观察以下四个不等式：

a+2 > a+1     -------------(1)

a+3 > 3a       -------------(2)

3x+1< 2x+6  -------------(3)

X < a             ------------(4)

同向不等式：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边或每一个的左边都小于右边(不等号的方向相同).

异向不等式：在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个的左边小于右边(不等号的方向相反).

基本理论：

1.实数在数轴上的性质:

研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：

设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B，那么，当点A在点B的左边时，a < b；当点A在点B的右边时，a > b.

关于a，b的大小关系，有以下基本事实:  如果a > b，那么a-b是正数；如果a=b，那么a-b等于零；如果a < b，那么a-b是负数；反过来也对.

... ... ...

从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？

要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比较它们的差a - b 与0的大小.  在这里，0为实数比较大小提供了“标杆”.

已知实数x、y，比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．

【解题回顾】

用作差比较法比较两个实数的大小，其步骤是：作差——变形——判断符号．

常见的变形手段是:   通分、因式分解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等. 

... ... ...

【知识回顾】

1.不等式的概念:同向不等式；异向不等式；同解不等式．

2.比较两个实数大小的主要方法:

(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论；

(2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下结论．大多用于比较幂指式的大小．

1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”；

2.要会用自然语言描述上述基本性质；

3.上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基础.

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《不等式的基本性质》PPT 第一部分内容：思考一下 等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？ 等式基本性质1： 等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立 如果a=b,..

《不等式的基本性质》PPT课件3 知识回顾 (1)等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式. 若a=b则a+c=b+c (或a-c=b-c) (2)等式的两边都乘以（或除以）同一个整式（除..

复习回顾等式的性质：

1.  若a=b,  b=c,则a, c之间的关系是____;

2.  若a=b,则a+c____b+c ,a-c____b-c;

3.  若a=b,且若c≠0,则ac____bc.

1、若a

不等式的基本性质1

不等式的传递性．若a

不等式的基本性质2

不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。

如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；

如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.

... ... ...

不等式的基本性质3

不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立;（不等号方向不变）

即:如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc，a/c＞b/c

不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立.

即:如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc，a/c＜b/c

... ... ...

选择适当的不等号填空:

⑴若 a＞-b ,则 a + b＞0;

⑵若 -a＜b ,则  a＞-b;

⑶若 -a＞-b ,则 2-a＞2-b;

⑷若 a＞0,且 (1-b)a＜0 ,则 b＞1.

⑸若 a ＜b,且 b＜2a-1 ,则 a＜2a-1.

选择恰当的不等号填空，并说出理由。

1、若a＜b，b＜2a－1，则a______2a－1

2、若a＞－b，则a+b______0

3、若－a＜b，则a_______－b

4、若a ≥b，则2－a_____2－b

... ... ...

例1、已知a<0 ，试比较2a与a的大小.

解法一：∵2＞1，a＜0，

∴2a＜a（不等式的基本性质3）

解法二：在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），如图.2a位于a的左边，所以2a＜a

解法三：∵ a＜0,   ∴ a+a ＜ a

∴2a

解法四： ∵2a-a=a<0  ∴2a

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不等式的概念

1、什么叫不等式？

用不等号“＞”（或“＜”、“≥”、“≤”）表示不等关系的式子叫做不等式. 

符号“≥”读作“大于或等于”，也可读作“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可读作“不大于”. 

如a≥0表示a＞0或a＝0.

形如3≠4、a≠b的式子, 也叫不等式. 它只表示两边是不相等的关系，不能明确两边的大小.

例1、下列各式中哪些是不等式，哪些不是？

⑴ x+1=2      ⑵ 5x-3＞1      ⑶ x-6

⑷ 11x-4≠6    ⑸ 7＞4          ⑹ 2x-y≥0

解： ⑴、⑶不是， ⑵ 、⑷、 ⑸、 ⑹是.

例2、用不等式表示下列关系：

（1）x的一半不大于-2；

（2）y与3的差大于0.5；

（3）a是负数；

（4）b是非负数.

解：（1）0.5x≤-2    （2）y-3＞0.5

（3）a＜0    （4）b≥0

用不等式表示不等关系是研究不等式的基础，在表示时一定要抓住关键词语，弄清不等关系

... ... ...

1、用“＜” 、“＝”或“＞”号填空：

(1) -7____-5；(2) (-3)4____34；

(3) (-4)2____(-3)2； (4) |-0.5| ___ |-1000|；

(5) 3+4____1+4；(6) 5+3____12-5；

(7) 6×3____4×3；(8) 6×(-3) ___ 4×(-3)

2、用适当的符号表示下列关系：

(1) a是正数；(2) a是非正数；

(3) a与b的和小于5；(4) x与2的差大于-1；

(5) x的4倍不大于7；(6) y的一半不小于3；

(7) x与17的和比它的5倍小；

(8) x的3倍与8的和比x的5倍大.

... ... ...

不等式的基本性质一：

不等式的两边同时加上(或都减去)同一个数或同一个代数式，不等号的方向不变.

即：若a＞b，则a+c＞b+c，且a-c＞b-c

观察下列两组变形，你发现了什么？

x + 6 ＞ 5      3x ＞ 2x - 2 

x ＞ 5 - 6       3x - 2x ＞ -2

把不等式的某一项变号后移到另一边．称为移项，这与解一元一次方程中的移项相类似.

... ... ...

如果a-b＝0，那么a＝b；

如果a-b＞0，那么a＞b；

如果a-b＜0，那么a＜b.

由此可见，要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数，还是0，以此判断a、b的大小，这样的方法叫作“作差比较法”.

不等式的基本性质二：

不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

即：如果a＞b，c＞0，则ac＞bc，且a/c＞b/c

不等式的基本性质三：

不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

即：如果a＞b，c＜0，则ac＜bc，且a/c＜b/c

... ... ...

随堂练习 

1、已知3-2a＜3-2b，则a（    ）b.

A、＞    B、＜    C、≥     D、≤

2、如果方程6x-2a = 0的解大于1，则a的取值范围是（    ）.

A、a＞1/3   B、a＜1/3   C、a＞3   D、a＜3

3、若b是非负数，则一定有3b＞b，你认为对吗？为什么？ 

... ... ...

1、生活中处处存在不等关系，我们可以用不等式来解决生活中的实际问题.

2、不等式的概念.

3 、在解题过程中，一定要注意“负数”、“非负数”、“大于”、“小于”、“不小于”等关键性词语，只有真正理解其含义，才能正确列出不等式.

4、不等式的基本性质一.

5、用作差法比较两个整式的大小.

... ... ...

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问题1：雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温度为t℃，那么t应该满足怎样的关系式？4t<28000

问题2：一种药品每片为0.25g，说明书上写着：“每日用量0.75~2.25g，分3次服用”。设某人一次服用  片，那么   应满足怎样的关系？0.75≤0.75x≤2.25

问题3：用适当的符号表示下列关系：

（1）2x与3的和不大于-6；2x+3≤6

（2）x的5倍与1的差小于x的3倍；5x-1<3x

（3）a与b的差是负数。a-b<0

不等式的定义

用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式

注：不大于，即小于或等于，用“≤”表示；

不小于，即大于或等于，用“≥”表示。

... ... ...

等式具有那些性质？

不等式是否具有这些的性质？

由a+2=b+2,   你能得到a=b吗？

由a-2=b-2,   你能得到a=b吗？

由0.5a=0.5b,   你能得到a=b吗？

由 -2a= -2b,   你能得到a=b吗？

由a=b,你能得到b=a吗？

由a=b,b=c,你能得到a=c吗？

... ... ...

不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

如果a>b,那么a±c>b±c

不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a>b，c>0,那么ac>bc (或a/c>b/c)

不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a>b，c<0,那么ac

... ... ...

1、已知 a < - 1 ,则下列不等式中错误的是（        ）

A、4a < - 4     B、- 4a < 4

C、a + 2 <1    D、2 – a > 3

2、已知x < y，下列哪些不等式成立？

（1） x – 3 < y – 3 （2）- 5 x < - 5 y

（3） - 3 x +2 < - 3 y + 2   （4）- 3 x + 2 > - 3y + 2

3、已知a>b,若a<0,则a20,则a2>ab.

4、下列各式分别在什么条件下成立?

(1) a > - a   (2) a2 > a

... ... ...

①在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题；

②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号．

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探究新知：

1.  商场A种服装的价格为60元，B种服装的价格为80元

（1）两种服装都涨价10元，哪种服装价格高？涨价15元呢？

（2）两种服装都降价5元，哪种服装价格高？降价15元呢？

（3）两种服装都打8折出售，哪种服装价格高？

2.已知 4 > 3，填空：

4×（-1）——3 ×（-1）

4×（-5）——3 ×（-5）

... ... ...

填空:   60 <80

60+10<80+10

60-5<80-5

60+a<80+a

性质1，不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

性质2，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

性质3，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

... ... ...

不等式的三条基本性质

1. 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；

2. 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

3. 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 ；

---如何用数学语言表示？

---与等式的基本性质有什么联系与区别？

... ... ...

例1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＜a或x＞a的形式：

(1)  x-2＜ 3          (2)  6x＜ 5x-1

(3)  1/2  x＞5       (4)  -4x＞3

解：(1)根据不等式基本性质1，两边都加上2，得：x-2+2＜3+2   x＜5

(2)根据不等式基本性质1，两边都减去5x，得：6x-5x＜5x-1-5x   x＜-1

例2.设a＞b，用“＜”或“＞”填空：

(1)a-3___b-3    (2) a/2___b/2     (3) -4a___-4b

解：(1) ∵a＞b

∴两边都减去3，由不等式基本性质1得   a-3＞b-3

(2) ∵a＞b，并且2＞0

∴两边都除以2，由不等式基本性质2得  a/2＞b/2

(3) ∵a＞b，并且-4＜0

∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3得 -4a＜-4b

... ... ...

单项选择：

(1)由 x＞y 得 ax＞ay 的条件是（    ）

A.a ≥0     B.a ＞ 0     C.a＜ 0      D.a≤0

(2)由 x＞y 得 ax≤ay 的条件是（    ）

A.a＞0     B.a＜0     C.a≥0      D.a≤0

(3)由 a＞b 得 am2＞bm2 的条件是（    ）

A.m＞0    B.m＜0    C.m≠0   D.m是任意有理数

(4)若 a＞1，则下列各式中错误的是（    ）

A.4a＞4   B.a+5＞6   C.-a/2＜-1/2   D.a-1＜0

... ... ...

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《不等式的基本性质》PPT课件3 知识回顾 (1)等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式. 若a=b则a+c=b+c (或a-c=b-c) (2)等式的两边都乘以（或除以）同一个整式（除..

1.  -7 ≤ -5,  3+4＞1+4

5+3≠12-5,   x ≥ 8

a+2＞a+1， x+3 ＜6 

(1)上述式子有哪些表示数量关系的符号？这些符号表示什么关系？

(2)这些符号两侧的代数式可随意交换位置吗？

(3)什么叫不等式？

1.商场A种服装的价格为60元，B种服装的价格为80元

（1）两种服装都涨价10元，哪种服装价格高？涨价15元呢？

（2）两种服装都降价5元，哪种服装价格高？降价15元呢？

（3）两种服装都打8折出售，哪种服装价格高？

2.已知4>3，填空：

4×（-1）——3×（-1）

4×（-5）——3×（-5）

... ... ...

例1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＜a或x＞a的形式：

(1) x-2＜3     (2) 6x＜5x-1

(3)1/2x＞5    (4)-4x＞3

解:(1)根据不等式基本性质1，两边都加上2，

得： x-2+2＜3+2   x＜5

例2.设a＞b，用“＜”或“＞”填空：

 (1)a-3___b-3   (2) -4a___-4b

解：(1) ∵a＞b

∴两边都减去3，由不等式基本性质1 得  a-3＞b-3

(2)∵a＞b，并且-4＜0

∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3得  -4a＜-4b

... ... ...

1.已知x＜y,用“＜”或“＞”填空。

（1）x+2____y+2  （不等式的基本性质___）

（2）1/2x____1/3y （不等式的基本性质___）

（3）-x____-y （不等式的基本性质___）

（4）x-m____y-m（不等式的基本性质___） 

2.若a-b<0，则下列各式中一定成立的是（  ）

A.a>b       B.ab>0

C.a/b＜0   D.-a>-b

3.若x是任意实数，则下列不等式中，恒成立的是（  ）

A.3x>2x      B.3x2>2x2

C.3+x>2      D.3+x2>2

... ... ...

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集.

求不等式解集的过程叫做解不等式．

你能用自己的方式将x>5的解集表示在数轴上吗？

不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示。在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内。

... ... ...

将不等式的解集表示在数轴上时,要注意:

(1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左.

(2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.

小   结

1.本节重点

（1）掌握不等式的基本性质，尤其是性质3；

（2）能正确应用性质对不等式进行变形；

（3）不等式的解集及如何利用数轴表示。

 2.注意事项

（1）要掌握不等式性质与等式性质的异同点；

（2）当不等式两边都乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定范围的字母，应分情况讨论.

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1、观察下面两组式子:

第一组：1+2=3;  a+b=b+a;  S = ab;   4+x = 7.

第二组：-7 < -5;  3+4 > 1+4;  2x ≤6, a+2 ≥0;   3≠4.

第一组都是____，第二组是____

2、像-7<-5;  3+4 > 1+4;  2x ≤6，a+2 ≥0;  3≠4等表示不等关系的式子叫做不等式

判断下列式子是不是不等式：

（1）-3<0;  （2）4x+3y>0

（3）x=3;   （4） X2+xy+y2

（5）x≠5;   （6）X+2>y+5;

... ... ...

等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式

如果a=b，那么a±c=b±c

等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式

如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）

探索与发现

观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.

(1)6>4   6+2____4+2 

             6-2____4-2

(2) –1<3  -1+2____3+2

              -1-3____3-3

发现:当不等式两边加上或减去同一个数时,不等号的方向________

... ... ...

不等式的基本性质1

不等式两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.

如果a＜b,那么a+c

如果a＞b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

不等式的基本性质2、3

不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，不等号的方向不变

不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数，必须把不等号的方向改变.

如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc，

如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc，

... ... ...

不等式性质1：

不等式两边同时加上( 或减去 )同一个整式，不等号的方向不变。

不等式性质2：

不等式两边同时乘以( 或除以 )同一个正数，不等号的方向不变。

不等式性质3：

不等式两边乘( 或除以 )同一个负数，不等号的方向改变。

... ... ...

试一试，看谁更快

设m＞n,用“＞”或“＜”填空。

(1)  m-5____ n-5

(2)  m+4 ____ n+4

(3)  6m ____ 6n

(4)  -3m ____ -3n

1.已知x>y,比较2-3x与2-3y的大小.

2.已知m(a-3)n,求a的范围. 

... ... ...

例1：已知x>y，试比较－2x和－2y的大小，并说明理由

变式1:比较a-2x和a-2y的大小

变式2:比较a-2x/3和a-2y/3的大小

变式3:若x>y,且(a－3)x＜(a－3)y,求a的取值范围。

变式4:若x>y,比较(a-3)x与(a-3)y的大小？

... ... ...

试一试，看谁更快

(1)若k<0,则下列不等式中不成立的是(    )

A.k+2>k-2    B.-6k>0

C.k>-k          D.k<-k

(2)已知a

A.4a<4b         B.-4a<-4b

C.a+4

1、若m>n，且am

A．a>0   B．a<0  C．a=0  D．a0

2、若k<0,则下列不等式中不成立的是(    )

A.k+2>k-2    B.-6k>0     C.k>-k   D.k<-k

3、用“＜”或“＞”填空：

(1)a___a+1  (2)a+2___a-2  (3)1-a___-a   (4)a2___0(a≠0)

... ... ...

等式与不等式的基本性质

基本性质1

等式两边都加上(或减去)同一个整式,所得结果仍是等式

不等式两边都加(或减去)同一个整式,不等号方向不变.

基本性质2

等式两边都乘(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式.

不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变;

不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变.

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