《二次函数的应用》PPT

学习目标：

1、能分析和表示不同实际背景下的二次函数关系，并利用二次函数的知识解决实际问题。 

2、理解如何运用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值

二次函数解析式的一般形式是y=ax2+bx+c(a≠0)

化成y=a(x-h)2+k的形式为y=a(x+b/2a )2+4ac-b2/4a

当横坐标为-b/2a时，纵坐标有最大（小）值4ac-b2/4a

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二次函数与最大菜园面积

例1.修建有一条边靠墙的矩形菜园，不靠墙的的三边的长度之和为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大面积是多少？

解：如图，设菜园的宽为x（m）,矩形菜园的面积为y(m2)则菜园的长为（60-2 x）（m）依题意y与x之间的函数解析式为

y=x(60-2x)

=- 2x2+60x

=-2(x2-30x+225-225)

=-2(x2-30x+225)-225×（-2）

=-2(x-15) 2 +450

∵a=-20 ∴当x=15时，y有最大值，最大值是450

所以，当菜园的宽为15 m时菜园面积最大。最大面积是450m2

交流与思考：如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?

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如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值? 

首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围，

然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。

注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。

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1、已知二次函数y=2(x-2)2+1,当x=__时，y取最___值,是___.

2、二次函数y=-2(x-4)2+1的图像开口____,当x=__时，y取最___值,是___.

3、某广告公司要设计一个周长为20m的矩形广告牌，当矩形的一边为何值时，广告牌的面积最大？

解设矩形的一边为x(m),则另一边为(10-x)m,矩形的面积为ym2,根据题意，y与x之间的函数解析式为y=x(10-x)

y=-x2+10x  

=-(x-5)2+25

∵a=-1＜0 ∴当x=5时，y有最大值，最大值为25.

所以，当矩形的一边长为5m时，广告牌面积最大，最大面积为25m2

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y-2x=1   y=2x+1

x=1        (1,3)

二元一次方程  一次函数

二元一次方程的解  一次函数图像上点的坐标

在同一个直角坐标系中，画出函数y=-2x+6与y=3x+1的图像

1、找出它们的交点P，写出点P的坐标。

2、点P的坐标适合方程2x+y=6吗？

适合方程3x-y=-1吗？为什么？

3、点P的坐标是方程组2x+y=6  3x-y=-1的解吗？

4、用画函数图象的方法, 解二元一次方程组的主要步骤是什么？

《二次函数的应用》PPT免费下载 第一部分内容：学习目标 1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值. 2.掌握实际..

《二次函数的应用》PPT课件下载 第一部分内容：学习目标 1.让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化. 2.让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题. 3.掌握数学建模的思想，体..

《二次函数的应用》PPT下载 第一部分内容：情境问题 某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增加承租X(100x150)亩.预计,原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元,新增地今年每亩的收..

1、能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题中的最大值或最小值问题

2、经历探索矩形面积最大或最小问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型思想和数学的应用价值

3、通过对生活中具体实例的分析，体会生活中的数学，培养热爱数学的情趣

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用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，已知篱笆的长度为60m,问：应该怎样设计才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：如图，设矩形菜园的宽为x(m)，则菜园的长为(60-2x)m，面积为y(O).

根据题意，y与x之间的函数表达式为

y=x(60-2x)

=-2(x²-30x)

=-2(x²-30x+225-225)

=-2[(x-15)²-225]

=-2(x-15)²+450

因为a＜0，所以抛物线开口向下，顶点(15,450)图像最高点，当x=15时，y有最大值，最大值是450.由题意可知：0＜x＜30，由于x=15在此范围内，所以二次函数y=x(60-2x)的最大值，就是该实际问题的最大值。

所以，当菜园的宽为15m时，菜园面积最大，最大面积是450 O. 

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一般的，因为抛物线y=ax²+bx+c的顶点是抛物线的最低(高)点，所以当x=-b/2a时，二次函数y=ax²+bx+c有最小(大)值，最小(大)值为4ac-b² /4a。

生活伴我行

如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边AB上取一点M，分别以AM，MB为边截取两块相邻的正方形板材，当AM的长为多少时，截取的板材面积最小？

分析：截取板材面积=正方形AMPQ面积+正方形MBEF面积.由已知可以构造二次函数，利用二次函数性质解决……

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解函数应用题的一般步骤:

设未知数(确定自变量和函数);

找等量关系,列出函数关系式;

化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);

求自变量取值范围；

利用函数知识，求解（通常是最值问题）；

写出答案。

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家 庭 作 业 题

1.窗的形状是矩形上面加一个半圆，窗的周长等于6m，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？

2、如图，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与

（1）相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？

（精确到0.1米） 

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《二次函数的应用》PPT课件下载 第一部分内容：学习目标 1.让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化. 2.让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题. 3.掌握数学建模的思想，体..

《二次函数的应用》PPT下载 第一部分内容：情境问题 某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增加承租X(100x150)亩.预计,原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元,新增地今年每亩的收..

《二次函数的应用》PPT

第一部分内容：复习思考

 二次函数的图象与x轴有没有交点，由什么决定?

由b²-4ac的符号决定

b²-4ac0，有两个交点

b²-4ac=0，只有一个交点

b²-4ac0，没有交点

求出二次函数y=10x-5x²图象的顶点坐标，与x轴的交点坐标，并画出函数的大致图象

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二次函数的应用PPT，第二部分内容：问题探究:

计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道，如图，现有一张半径为45mm的磁盘．

（1）磁盘最内磁道的半径为r mm，其上每0.015mm的弧长为1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？

（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？

（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同．最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？

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二次函数的应用PPT，第三部分内容：例题解析

例1   如图30-4-1，一名运动员在距离篮圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落人篮圈．已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m.

如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？

(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.

(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？

如图，用长20米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园，设菜园的宽为x米，面积为y平方米.

(1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？

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二次函数的应用PPT，第四部分内容：练一练：

1.某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大.

2.窗的形状是矩形上面加一个半圆.窗的周长等于6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？

2.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角120º的等腰梯形.要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB应该是多长？

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二次函数的应用PPT，第五部分内容：“二次函数应用”的思路 

你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.

1.理解问题;

2.分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系;

3.用数学的方式表示出它们之间的关系;

4.做数学求解;

5.检验结果的合理性，拓展等.

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《二次函数的应用》PPT下载 第一部分内容：情境问题 某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增加承租X(100x150)亩.预计,原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元,新增地今年每亩的收..

《二次函数的应用》PPT下载

第一部分内容：情境问题

某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增加承租X(100≤x≤150)亩.预计,原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元,新增地今年每亩的收益为(440-2x)元,试问:该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻,才能使总收益最大?最大收益是多少?

求二次函数y=-100x2+100x+200的最值？

某商店经营某种商品，已知成批购进时单价是8元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是10元时，一天销售量是100件，而单价每降低0.1元，就可以多售出10件。                                                                                                                                                                                     请你帮助分析，销售单价降低多少时，每天获利最多？

求二次函数y=x(20-2x)的最值？

要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？ 

附：如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么y=x(20-2x) 

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二次函数的应用PPT，第二部分内容：学会归纳

利用二次函数的性质可以解决很多实际生活中的最值问题一般步骤是什么？

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

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二次函数的应用PPT，第三部分内容：中考题选练

某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。

（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（6分）

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）

提示:日利润=(销售价-成本)×销售量

《二次函数的应用》PPT免费下载 第一部分内容：学习目标 1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值. 2.掌握实际..

《二次函数的应用》PPT课件下载 第一部分内容：学习目标 1.让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化. 2.让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题. 3.掌握数学建模的思想，体..

《二次函数的应用》PPT 第一部分内容：复习思考 二次函数的图象与x轴有没有交点，由什么决定? 由b-4ac的符号决定 b-4ac0，有两个交点 b-4ac=0，只有一个交点 b-4ac0，没有交点 求..

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第一部分内容：学习目标

1.让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化.

2.让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题.

3.掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活.

1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条________，它的对称轴是________，顶点坐标是_________.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条________，它的对称轴是________，顶点坐标是___________.  当a>0时，抛物线开口向________，有最________点，函数有最________值，是________；当 a<0时，抛物线开口向________，有最________点，函数有最________值，是__________.

3.二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是________，顶点坐标是________.当x=________时，y的最__值是________ .

4.二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是________，顶点坐标是________ .当x=____时，函数有最____值，是____ .

5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是________，顶点坐标是________.当x=____时，函数有最____值，是____ .

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二次函数的应用PPT，第二部分内容：知识讲解

某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？

若设销售价为x元(x≤13.5元),那么

销售量可表示为 : _______件;

销售额可表示为:_______元;

所获利润可表示为: _______元;

当销售单价为_______元时,可以获得最大利润,最大利润是__________元.

何时橙子总产量最大？

某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.

如果增种x棵树，果园橙子的总产量为y个,那么y与x之间的关系式为：

y=(600-5x)(100+x ) =-5x²+100x+60000

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二次函数的应用PPT，第三部分内容：“二次函数应用” 的思路 

回顾本课“最大利润”和 “最高产量”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？

1.理解问题;

2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;

3.用数学的方式表示出它们之间的关系;

4.做数学求解;

5.检验结果的合理性.

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二次函数的应用PPT，第四部分内容：随堂练习

1．（甘肃·中考）向空中发射一枚炮弹，经过x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（    ）

A．第8秒      B．第10秒    C．第12秒     D．第15秒

2．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_____cm2．

3．（兰州·中考） 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为______米.

4．（昭通·中考）某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示．经过______s，火箭达到它的最高点．

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二次函数的应用PPT，第五部分内容：课堂小结

1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.

2.利用二次函数解决实际问题时，建立适当的直角坐标系，是解决问题的关键.

《二次函数的应用》PPT免费下载 第一部分内容：学习目标 1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值. 2.掌握实际..

《二次函数的应用》PPT下载 第一部分内容：情境问题 某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增加承租X(100x150)亩.预计,原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元,新增地今年每亩的收..

《二次函数的应用》PPT 第一部分内容：复习思考 二次函数的图象与x轴有没有交点，由什么决定? 由b-4ac的符号决定 b-4ac0，有两个交点 b-4ac=0，只有一个交点 b-4ac0，没有交点 求..

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第一部分内容：学习目标

1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.

2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． 

二次函数 y=a（x-h）²+k（a≠0）

顶点坐标为(h,k)

①当a>0时，y有最小值k

②当a<0时，y有最大值k

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二次函数的应用PPT，第二部分内容：例题解析

【例1】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.

请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?

【跟踪训练】

1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2 956，则获利最多为______元.

2.某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28 400，要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人.

【例2】桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.

如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？

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【跟踪训练】

1.（兰州·中考） 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为____米.

2.（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.

（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？

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二次函数的应用PPT，第三部分内容：随堂训练

1.（株洲·中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是(    )

A.4米        B.3米

C.2米        D.1米

【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米. 

2.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80G销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.

（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.

（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？

3.（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．

(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.

(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

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二次函数的应用PPT，第四部分内容：课堂小结

“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.

1.根据实际问题列出二次函数关系式.

2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.

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《二次函数的应用》PPT 第一部分内容：复习思考 二次函数的图象与x轴有没有交点，由什么决定? 由b-4ac的符号决定 b-4ac0，有两个交点 b-4ac=0，只有一个交点 b-4ac0，没有交点 求..